Feladat:	C.1557	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Feczkó Nóra ,  Hajós Balázs ,  Németh Máté Előd
Füzet:	2020/március, 152 - 154. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Klasszikus valószínűség, Természetes számok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/szeptember: C.1557

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Összesen $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{90}{2}\right)=\frac{90\cdot 89}{2}=9\cdot 5\cdot 89=4005$-féleképpen választhatunk ki 2 számot a 90 darab kétjegyű szám közül. A jó lehetőségeket számoljuk össze aszerint, hogy a közös számjegy mi. Ha a közös számjegy 0, akkor a lehetséges számok, amik közül választottunk, a $\mathrm{10,20,}\text{...}\mathrm{,90}$. Ez $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2}\right)=36$ eset. Ha a közös számjegy 1, akkor a lehetséges számok, amik közül választhatunk, a $\mathrm{10,11,12,}\text{...}\mathrm{,19};\mathrm{21,31,}\text{...}\mathrm{,91}$. Vagyis $10+8=18$ számból választunk 2-t, amit $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{2}\right)=\frac{18\cdot 17}{2}=9\cdot 17=153$-féleképp tehetünk meg. Ha a közös számjegy 2, akkor a lehetséges számok $\mathrm{20,21,22,}\text{...}\mathrm{,29};\mathrm{12,32,}\text{...}\mathrm{,92}$. Ez szintén 18 szám, tehát itt is $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{2}\right)=153$-féleképp választhatunk. Ugyanennyi eset van, ha a közös számjegy $\mathrm{3,4,}\text{...}\mathrm{,9}$. Duplán számoltuk azokat az eseteket, mikor a két kiválasztott szám egymás fordítottja: $\overline{ab}$ és $\overline{ba}$, ahol a két számjegy különböző. Ilyen eset $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2}\right)=36$ van, hiszen a kilenc számjegyből kettőt választunk ki. Tehát a jó lehetőségek száma: $\begin{array}{c}{\displaystyle 36+9\cdot 153-36=9\cdot 153.}\end{array}$ A kérdezett valószínűség: $\begin{array}{c}{\displaystyle p=\frac{9\cdot 153}{9\cdot 5\cdot 89}=\frac{153}{445}\approx 0\mathrm{,}3438.}\end{array}$    Feczkó Nóra (Budapest, Budai Ciszterci Szent Imre Gimn., 10. évf.)  megoldása alapján     II. megoldás. Készítsünk egy gráfot, amelynek a csúcsai a kétjegyű pozitív egész számok, és két csúcs között akkor fusson él, ha a hozzájuk tartozó két számnak van közös számjegye. Ekkor a keresett valószínűség $\begin{array}{c}{\displaystyle P=\frac{\text{élek száma}}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{90}{2}\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ Most számoljuk meg, hány éle van a gráfunknak. Ehhez 3 típusba osztjuk a csúcsokat: 1. típus: $xx$ alakú csúcsok (azonos számjegyekből álló kétjegyű számok). Ilyen alakú számból 9 db van, és mindegyikből 17 él indul ki: az $xy$ alakú csúcsokba, ahol $y\ne x$ tetszőleges számjegy (9 db) és az $yx$ alakú csúcsokba, ahol $0\ne y\ne x$ tetszőleges számjegy (8 db). 2. típus: $xy$ típusú csúcsok, ahol $x\mathrm{,}y$ különböző és $y\ne 0$ (és természetesen $x\ne 0$, hiszen kétjegyű számról van szó). Ilyen csúcsból $9\cdot 8=72$ db van, mindegyikből 33 él indul ki: az $xz$ típusú csúcsokba, ahol $z\ne y$ tetszőleges számjegy (9 db), a $zx$ típusúakba, ahol $0\ne z\ne x$ tetszőleges számjegy (8 db), az $yz$ típusú csúcsokba, ahol $z\ne x$ tetszőleges számjegy (9 db) és a $zy$ típusúakba, ahol $z\notin \left\{\mathrm{0,}x\mathrm{,}y\right\}$ tetszőleges számjegy (7 db). 3. típus: $x0$ alakú csúcsok (ahol $x\ne 0$, hiszen kétjegyű számokat vizsgálunk). 9 db ilyen szám van, mindegyik 25 másik csúccsal van összekötve: az $y0$ alakú csúcsokkal, ahol $0\ne y\ne x$ tetszőleges számjegy (8 db), az $xy$ alakúakkal, ahol $0\ne y$ tetszőleges számjegy (9 db) és az $yx$ alakú számokkal, ahol $0\ne y\ne x$ tetszőleges számjegy (8 db). Azaz az élek száma: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{9\cdot 17+72\cdot 33+9\cdot 25}{2}=1377.}\end{array}$ Így a keresett valószínűség $\begin{array}{c}{\displaystyle P=\frac{1377}{4005}=\frac{153}{445}\mathrm{.}}\end{array}$ Azaz $\frac{153}{445}\left(\approx 0\mathrm{,}3438\right)$ annak a valószínűsége, hogy a véletlenszerűen kiválasztott két számnak van közös számjegye.     III. megoldás. Számoljunk komplementer-módszerrel. Összesen $\frac{90\cdot 89}{2}=4005$-féleképpen választhatunk ki két kétjegyű számot. Ezek közül válasszuk ki azokat a párokat, amikben nincs közös számjegy. Négy esetet különböztetünk meg. I. eset. Mind a 4 jegy különböző, és nincs közöttük 0. Ilyen esetből $\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{2}$ van, mert minden jegynek különböznie kell a többitől, és a két számot felcserélve is beleszámoltuk. II. eset. Mind a 4 jegy különböző, és van közöttük 0. Ilyenből $9\cdot 8\cdot 7$ pár van, mert a 0 csak az egyesek helyén állhat, így kilenc darab szám, a kerek tízesek, lehet a pár egyik tagja, a másik tag két számjegye pedig a maradék számjegyek közül szabadon választható. III. eset. A két szám közül az egyik 11-gyel osztható. Ilyenből $9\cdot 8\cdot 8$ van, mert 9 darab 11-gyel osztható kétjegyű szám van, a másik szám két jegye pedig a maradék jegyek közül választható (csak az első számjegy nem lehet 0). IV. eset. Mindkét szám 11-gyel osztható. 9 darab 11-gyel osztható szám van, ezek közül $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2}\right)=\frac{9\cdot 8}{2}$-féleképpen választhatunk ki kettő különbözőt. Az esetek között nincs átfedés, így a keresett valószínűség: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \frac{4005-(\frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}{2}+9\cdot 8\cdot 7+9\cdot 8\cdot 8+\frac{9\cdot 8}{2})}{4005}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\frac{4005-\left(1512+504+576+36\right)}{4005}=\frac{4005-2628}{4005}=\frac{1377}{4005}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$    Hajós Balázs (Budapest, ELTE Apáczai Csere János Gyak. Gimn., 9. évf.)  megoldása alapján     IV. megoldás. 90 darab kétjegyű pozitív egész szám van. Ezek közül kettőt $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{90}{2}\right)=\frac{90\cdot 89}{2}=4005$-féleképpen lehet kiválasztani. A ``kidobom a rosszat'' elv alapján keressük azokat a párokat, melyeknek nincs közös számjegyük. Ehhez veszünk egy számot, és megnézzük, hány megfelelő párt találunk hozzá. Három eset van. 1. eset. A kétjegyű szám $\overline{a0}$ alakú. Ekkor a számnak $8\cdot 8=64$ olyan párja van, amellyel nincs közös számjegye. Ilyen alakú szám 9 db van, tehát ebben az esetben $9\cdot 64=576$ számpárt találtunk. 2. eset. A kétjegyű szám $\overline{aa}$ alakú. Ekkor a számnak $8\cdot 9=72$ olyan párja van, amellyel nincs közös számjegye, mivel a $0$ nem állhat a tízes helyiértéken. Ilyen alakú szám is 9 db van. Tehát ebben az esetben $9\cdot 72=648$ párt találtunk. 3. eset. A kétjegyű szám $\overline{ab}$ alakú. Ekkor a számnak $7\cdot 8=56$ olyan párja van, amellyel nincs közös számjegye. Ilyen alakú szám $90-9-9=72$ db van. Tehát ebben az esetben $72\cdot 56=4032$ párt találtunk. Összesen $\frac{576+648+4032}{2}=2628$ db pár van, mivel az összeszámolásnál mindegyik párt kétszer számoltuk. $4005-2628=1377$ olyan pár van, amelyben a kétjegyű számoknak van közös számjegye. Tehát a kérdezett valószínűség $\frac{1377}{4005}\approx 34\mathrm{,}38\%$.    Németh Máté Előd (Révai Miklós Gimnázium, Győr, 10. évf.)   Megjegyzések. 1. Sokan nem vették figyelembe, hogy a két számot nyilvánvalóan egyszerre választjuk ki, tehát nem lehetnek egyformák. 2. Sokan pedig úgy tekintették, mintha egy számpárt kétféleképpen is választhatnánk, azaz az összes lehetőségek számát sem, illetve a jó lehetőségek számát sem osztották 2-vel. Ekkor ugyan a végeredmény végül helyes, ám a gondolatmenetben van hiba. 3. Sok-sok apró hiba volt, ezért a sok hiányos dolgozat.