A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Összesen -féleképpen választhatunk ki 2 számot a 90 darab kétjegyű szám közül. A jó lehetőségeket számoljuk össze aszerint, hogy a közös számjegy mi. Ha a közös számjegy 0, akkor a lehetséges számok, amik közül választottunk, a . Ez eset. Ha a közös számjegy 1, akkor a lehetséges számok, amik közül választhatunk, a . Vagyis számból választunk 2-t, amit -féleképp tehetünk meg. Ha a közös számjegy 2, akkor a lehetséges számok . Ez szintén 18 szám, tehát itt is -féleképp választhatunk. Ugyanennyi eset van, ha a közös számjegy . Duplán számoltuk azokat az eseteket, mikor a két kiválasztott szám egymás fordítottja: és , ahol a két számjegy különböző. Ilyen eset van, hiszen a kilenc számjegyből kettőt választunk ki. Tehát a jó lehetőségek száma: A kérdezett valószínűség: | | Feczkó Nóra (Budapest, Budai Ciszterci Szent Imre Gimn., 10. évf.) megoldása alapján
II. megoldás. Készítsünk egy gráfot, amelynek a csúcsai a kétjegyű pozitív egész számok, és két csúcs között akkor fusson él, ha a hozzájuk tartozó két számnak van közös számjegye. Ekkor a keresett valószínűség Most számoljuk meg, hány éle van a gráfunknak. Ehhez 3 típusba osztjuk a csúcsokat: 1. típus: alakú csúcsok (azonos számjegyekből álló kétjegyű számok). Ilyen alakú számból 9 db van, és mindegyikből 17 él indul ki: az alakú csúcsokba, ahol tetszőleges számjegy (9 db) és az alakú csúcsokba, ahol tetszőleges számjegy (8 db). 2. típus: típusú csúcsok, ahol különböző és (és természetesen , hiszen kétjegyű számról van szó). Ilyen csúcsból db van, mindegyikből 33 él indul ki: az típusú csúcsokba, ahol tetszőleges számjegy (9 db), a típusúakba, ahol tetszőleges számjegy (8 db), az típusú csúcsokba, ahol tetszőleges számjegy (9 db) és a típusúakba, ahol tetszőleges számjegy (7 db). 3. típus: alakú csúcsok (ahol , hiszen kétjegyű számokat vizsgálunk). 9 db ilyen szám van, mindegyik 25 másik csúccsal van összekötve: az alakú csúcsokkal, ahol tetszőleges számjegy (8 db), az alakúakkal, ahol tetszőleges számjegy (9 db) és az alakú számokkal, ahol tetszőleges számjegy (8 db). Azaz az élek száma: Így a keresett valószínűség Azaz annak a valószínűsége, hogy a véletlenszerűen kiválasztott két számnak van közös számjegye.
III. megoldás. Számoljunk komplementer-módszerrel. Összesen -féleképpen választhatunk ki két kétjegyű számot. Ezek közül válasszuk ki azokat a párokat, amikben nincs közös számjegy. Négy esetet különböztetünk meg. I. eset. Mind a 4 jegy különböző, és nincs közöttük 0. Ilyen esetből van, mert minden jegynek különböznie kell a többitől, és a két számot felcserélve is beleszámoltuk. II. eset. Mind a 4 jegy különböző, és van közöttük 0. Ilyenből pár van, mert a 0 csak az egyesek helyén állhat, így kilenc darab szám, a kerek tízesek, lehet a pár egyik tagja, a másik tag két számjegye pedig a maradék számjegyek közül szabadon választható. III. eset. A két szám közül az egyik 11-gyel osztható. Ilyenből van, mert 9 darab 11-gyel osztható kétjegyű szám van, a másik szám két jegye pedig a maradék jegyek közül választható (csak az első számjegy nem lehet 0). IV. eset. Mindkét szám 11-gyel osztható. 9 darab 11-gyel osztható szám van, ezek közül -féleképpen választhatunk ki kettő különbözőt. Az esetek között nincs átfedés, így a keresett valószínűség:
Hajós Balázs (Budapest, ELTE Apáczai Csere János Gyak. Gimn., 9. évf.) megoldása alapján
IV. megoldás. 90 darab kétjegyű pozitív egész szám van. Ezek közül kettőt -féleképpen lehet kiválasztani. A ``kidobom a rosszat'' elv alapján keressük azokat a párokat, melyeknek nincs közös számjegyük. Ehhez veszünk egy számot, és megnézzük, hány megfelelő párt találunk hozzá. Három eset van. 1. eset. A kétjegyű szám alakú. Ekkor a számnak olyan párja van, amellyel nincs közös számjegye. Ilyen alakú szám 9 db van, tehát ebben az esetben számpárt találtunk. 2. eset. A kétjegyű szám alakú. Ekkor a számnak olyan párja van, amellyel nincs közös számjegye, mivel a nem állhat a tízes helyiértéken. Ilyen alakú szám is 9 db van. Tehát ebben az esetben párt találtunk. 3. eset. A kétjegyű szám alakú. Ekkor a számnak olyan párja van, amellyel nincs közös számjegye. Ilyen alakú szám db van. Tehát ebben az esetben párt találtunk. Összesen db pár van, mivel az összeszámolásnál mindegyik párt kétszer számoltuk. olyan pár van, amelyben a kétjegyű számoknak van közös számjegye. Tehát a kérdezett valószínűség .
Németh Máté Előd (Révai Miklós Gimnázium, Győr, 10. évf.)
Megjegyzések. 1. Sokan nem vették figyelembe, hogy a két számot nyilvánvalóan egyszerre választjuk ki, tehát nem lehetnek egyformák. 2. Sokan pedig úgy tekintették, mintha egy számpárt kétféleképpen is választhatnánk, azaz az összes lehetőségek számát sem, illetve a jó lehetőségek számát sem osztották 2-vel. Ekkor ugyan a végeredmény végül helyes, ám a gondolatmenetben van hiba. 3. Sok-sok apró hiba volt, ezért a sok hiányos dolgozat. |
|