A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Megmutatjuk, hogy a kérdéses következtetés nem igaz. Rekurzívan felépítjük -t, -t, és az eltoláshalmazokat (mind nemüres részhalmazai), úgy, hogy | | és mind az () eltoltak, mind az () eltoltak páronként diszjunktak. Legyen először , , , és . Innen rekurzívan haladunk tovább. Tegyük fel, hogy már megkonstruáltuk a véges , , halmazokat úgy, hogy , és minden általuk lefedett elemet egyszer fednek (vagyis az halmazok páronként diszjunktak, és az halmazok is páronként diszjunktak). Legyen ekkor . Most egymás után minden egyes elemre a következőt tesszük: ha eddig nem volt benne -ben, akkor beteszünk -be egy , -be egy elemet, hogy azok összege éppen legyen, és a korábbi tulajdonságok ne romoljanak el, azaz ne legyen alakú (ahol ezek korábbi elemek: , ), és se legyen alakú (ahol , ), sőt, az új ne legyen -ben sem. Mindegyik feltétel véges sok elem letiltását jelenti. Ugyanígy járunk el esetében is. Így kapjuk az halmazokat, nyilván , . Világos, hogy , , , megfelelnek, amennyiben a korlátosság is teljesül. Azonban a korlátosságot is könnyen betarthatjuk, ha minden új elemet a intervallumból választunk a következőképpen: egy tipikus lépésben egy adott elemet akarunk felírni alakban, ahol , és (vagy ). Világos, hogy mivel csak véges sok letiltott elem van, léteznek ennek megfelelő számok.
II. megoldás (Matolcsi Dávid dolgozata alapján). Legyen a nyílt intervallumba eső, 3-hatvány nevezőjű racionális számok halmaza. Legyen a alakú számok halmaza, ahol nemnegatív egész. Be fogjuk látni, hogy többféleképpen is felbontható -nak páronként diszjunkt eltoltjaira. Legyen a zárt intervallumba eső, 3-hatvány nevezőjű racionális számok halmaza. Ekkor , (itt valójában egyenlőség áll). Mivel és is tartalmazza a számot, ezért -nak ez a két eltoltja nem diszjunkt. Elég belátni, hogy mindkettő kiegészíthető felbontásává -nak páronként diszjunkt eltoltjaira. Mivel megszámlálható, elég belátni, hogy ha valamely számokkal képzett eltoltak nem tartalmazzák a számot, akkor van olyan szám, hogy az eltolt tartalmazza a számot és diszjunkt mindegyikétől. Válasszuk az egész számot olyan nagynak, hogy egész legyen minden esetén, továbbá álljon. Ekkor , tehát tudunk olyan előjelet választani, hogy az és választással , azaz legyen. Ekkor . Már csak azt kell belátnunk, hogy és esetén , azaz , vagyis . Mivel , ezért , tehát vagy esetén készen vagyunk, hiszen ekkor . (Utóbbi esetben használjuk, hogy az halmaz a 0-ra szimmetrikus.) Egyéb esetben belátjuk, hogy nem egész, amiből a kívánt nem-egyenlőség azonnal következik. Legyen és , ekkor , ahol egy 9-cel osztható egész, pedig nem, mert esetén ez vagy , vagy nem egész, esetén pedig vagy , vagy nem osztható 3-mal. Így tehát nem lehet 9-cel osztható egész.
|