A $2n$ egymást követő egész szám halmazát jelölje $\text{H}$. A $\text{H}$ elemei között legfeljebb egy lehet osztható $2n$-nel, hiszen két ilyen szám különbsége legalább $2n$, míg $\text{H}$ legnagyobb és legkisebb elemének különbsége csupán $2n-1$. Hasonló okból az $n+\mathrm{1,}n+\mathrm{2,}\text{...}\mathrm{,2}n-1$ számoknak legfeljebb két többszörösük lehet $\text{H}$-ban, mivel három ilyen többszörös közül a legnagyobb és legkisebb különbsége legalább $2\left(n+1\right)>2n-1$.
A továbbiakban $n$ paritása szerint két esetet különítünk el egymástól.
1. eset: $n$ páros. Ekkor az $n+1$, $n+2$, $\text{...}\mathrm{,}$ $2n$ számok közül $\frac{n}{2}$ páros és ugyanennyi páratlan. Ha ‐ a $2n$ kivételével ‐ ezek közül mindegyik $k$-nak két többszöröse van $\text{H}$-ban, akkor ezek ,,szomszédos'' többszörösök ($ik$ és $\left(i+1\right)k$), így a páratlanoknak egy páratlan és egy páros többszöröse, a párosaknak pedig két páros többszöröse található $\text{H}$-ban. Ez (a $2n$ egyetlen $\text{H}$-beli többszörösét is beszámítva $2(\frac{n}{2}-1)+\frac{n}{2}+1=n+\frac{n}{2}-1$ páros és) $\frac{n}{2}$ páratlan többszöröst jelentene $\text{H}$-ban; mivel azonban $\text{H}$-nak pontosan $n$ páros és $n$ páratlan eleme van, ebben az esetben legfeljebb $n+\frac{n}{2}$ lehet a $\text{H}$-ba eső többszörösök száma. Ez a korlát el is érhető: legyen $\text{H}=\left\{n+\mathrm{1,}n+\mathrm{2,}\text{...}\mathrm{,3}n\right\}$, ekkor ($n+1$)-től $2n$-ig mindegyik szám osztható az $n+1$, $n+2$, $\text{...}\mathrm{,}$ $2n$ számok közül valamelyikkel, mégpedig saját magával. A többiek közül pedig az $\frac{n}{2}$ darab páros szám: $2n+2=2\left(n+1\right)$, $2n+4=2\left(n+2\right)$, $\text{...}\mathrm{,}$ $3n=2(\frac{3n}{2})$ osztható rendre $n+1$-gyel, $n+2$-vel, $\text{...}\mathrm{,}$ $n+\frac{n}{2}$-vel.
2. eset: $n$ páratlan. Az előző esethez hasonlóan, most $(\frac{n+1}{2}$ páros és$)$ $\frac{n-1}{2}$ páratlan szám van az $n+1$, $n+2$, $\text{...}\mathrm{,}$ $2n$ számok között. Így a $\text{H}$-ba eső páratlan többszöröseik száma $\frac{n-1}{2}$, ezért a $\text{H}$-ban található többszörösök száma legfeljebb $n$ (a $\text{H}$ páros elemeinek a $\text{száma) }+\frac{n-1}{2}$. Az $n+\frac{n-1}{2}$ korlát elérhető, ha például (ismét) a $\text{H}=\left\{n+\mathrm{1,}n+\mathrm{2,}\text{...}\mathrm{,3}n\right\}$ választással élünk. Ekkor ugyanis az $n+1$, $n+2$, $\text{...}\mathrm{,}$ $2n$ számok saját magukkal, az $\frac{n-1}{2}$ darab páros szám pedig: $2n+2=2\left(n+1\right)$, $2n+4=2\left(n+2\right)$, $\text{...}\mathrm{,}$ $3n-1=2(\frac{3n-1}{2})=2(n+\frac{n-1}{2})$ saját magának a felével osztható.
Tehát $2n$ egymást követő egész szám között legfeljebb $n+[\frac{n}{2}]$ olyan lehet, amely osztható az $n+1$, $n+2$, $\text{...}\mathrm{,}$ $2n$ számok valamelyikével.