A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A egymást követő egész szám halmazát jelölje . A elemei között legfeljebb egy lehet osztható -nel, hiszen két ilyen szám különbsége legalább , míg legnagyobb és legkisebb elemének különbsége csupán . Hasonló okból az számoknak legfeljebb két többszörösük lehet -ban, mivel három ilyen többszörös közül a legnagyobb és legkisebb különbsége legalább . A továbbiakban paritása szerint két esetet különítünk el egymástól. 1. eset: páros. Ekkor az , , számok közül páros és ugyanennyi páratlan. Ha ‐ a kivételével ‐ ezek közül mindegyik -nak két többszöröse van -ban, akkor ezek ,,szomszédos'' többszörösök ( és ), így a páratlanoknak egy páratlan és egy páros többszöröse, a párosaknak pedig két páros többszöröse található -ban. Ez (a egyetlen -beli többszörösét is beszámítva páros és) páratlan többszöröst jelentene -ban; mivel azonban -nak pontosan páros és páratlan eleme van, ebben az esetben legfeljebb lehet a -ba eső többszörösök száma. Ez a korlát el is érhető: legyen , ekkor ()-től -ig mindegyik szám osztható az , , számok közül valamelyikkel, mégpedig saját magával. A többiek közül pedig az darab páros szám: , , osztható rendre -gyel, -vel, -vel. 2. eset: páratlan. Az előző esethez hasonlóan, most páros és páratlan szám van az , , számok között. Így a -ba eső páratlan többszöröseik száma , ezért a -ban található többszörösök száma legfeljebb (a páros elemeinek a . Az korlát elérhető, ha például (ismét) a választással élünk. Ekkor ugyanis az , , számok saját magukkal, az darab páros szám pedig: , , saját magának a felével osztható. Tehát egymást követő egész szám között legfeljebb olyan lehet, amely osztható az , , számok valamelyikével. Nyárfádi Patrik (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 9. évf.) |