Kezdőlap


Feladat:	C.1517	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Adravecz Balázs , Debreczeni Tibor , Demcsák Ágnes , Facskó Vince , Falvay Júlia , Hordós Adél Zita , Kis Károly , Kis-Tóth Janka , Kovács Bence , Limpek Balázs , Mészáros Márton , Molnár István , Német Franciska , Pásti Bence , Székelyhidi Klára , Szigeti Donát , Wagner Dávid Barnabás
Füzet:	2019/december, 537 - 539. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Klasszikus valószínűség, Sakk
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/december: C.1517

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a sakktábla mezőit az ábrán látható módon. Mivel a huszárt véletlenszerűen helyezzük el a táblán, ezért egy mező kiválasztásának a valószínűsége $\frac{1}{64}$ .

A továbbiaknak minden mezőre kiszámoljuk az egy lépésben vele azonos színű mezőre való lépés valószínűségét. A kapott valószínűségek összegét

\frac{1}{64}

-gyel szorozva kapjuk meg a keresett valószínűséget. A színezett tábla tengelyesen szimmetrikus a H1‐A8 átlóra nézve, ezért csak a vastag vonallal határolt mezőkhöz tartozó valószínűségek összegét számoljuk ki, majd az eredmény kétszereséhez hozzáadjuk a H1‐A8 átló mezőihez tartozó valószínűségeket.
A ,,megfelelő'' lépés minden esetben a kiinduló mezővel azonos színű mezőre lépést jelenti. Az első négy átlószerűség mezőit részletesen indoklom, a többi esetben csak a valószínűségeket adom meg úgy, hogy a tört számlálójában a megfelelő lépések, míg nevezőjében a lehetséges lépések száma áll.
1.) A1: 2 lehetséges és 0 megfelelő lépés, a keresett valószínűség így 0.
2.) B1‐A2:

A B1 és az A2 mező esetén is 3 lehetséges és 1 megfelelő lépés van, a keresett valószínűség

\frac{1}{3}

. A B1‐A2 ,,átlóhoz'' tartozó mezők valószínűségének összege

\frac{2}{3}

.
3.) C1‐A3:
Mindhárom mező esetén 4 lehetséges és 2 megfelelő lépés van, a keresett valószínűség

\frac{2}{4} = \frac{1}{2}

. A C1‐A3 ,,átlóhoz'' tartozó mezők valószínűségének összege

\frac{3}{2}

.
4.) D1‐A4:
a D1 és az A4 mező esetén 4 lehetséges és 2 megfelelő lépés van, a keresett valószínűség

\frac{2}{4} = \frac{1}{2}

, míg a C2 és B3 mező esetén 6 lehetséges és 3 megfelelő lépés van, a keresett valószínűség

\frac{3}{6} = \frac{1}{2}

. A D1‐A4 ,,átlóhoz'' tartozó valószínűségek összege

\frac{4}{2} = 2

.
5.) Az E1‐A5 átlóhoz tartozó valószínűségek összege:

\begin{matrix} \frac{2}{4} + \frac{3}{6} + \frac{4}{8} + \frac{3}{6} + \frac{2}{4} = \frac{5}{2} . \end{matrix}

6.) Az F1‐A6 átlóhoz tartozó valószínűségek összege:

\begin{matrix} \frac{2}{4} + \frac{3}{6} + \frac{4}{8} + \frac{4}{8} + \frac{3}{6} + \frac{2}{4} = 3. \end{matrix}

7.) A G1‐A7 átlóhoz tartozó valószínűségek összege:

\begin{matrix} \frac{2}{3} + \frac{3}{6} + \frac{4}{8} + \frac{4}{8} + \frac{4}{8} + \frac{3}{6} + \frac{2}{3} = \frac{23}{6} . \end{matrix}

8.) A H1‐A8 átlóhoz tartozó valószínűségek összege:

\begin{matrix} \frac{2}{2} + \frac{2}{4} + \frac{4}{8} + \frac{4}{8} + \frac{4}{8} + \frac{4}{8} + \frac{2}{4} + \frac{2}{2} = 5. \end{matrix}

Tehát az egyes mezőkhöz tartozó valószínűségek összege:

\begin{matrix} 2 \cdot (0 + \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + 2 + \frac{5}{2} + 3 + \frac{23}{6}) + 5 = 2 \cdot \frac{27}{2} + 5 = 32. \end{matrix}

Tehát annak a valószínűsége, hogy a véletlenszerűen elhelyezett huszár a kiinduló mezővel azonos színű mezőre lép

\frac{1}{64} \cdot 32 = \frac{1}{2}

Molnár István (Békéscsaba, Széchenyi István Szakközépiskola, 12. évf.)

II. megoldás (vázlat). Az

\frac{1}{2}

eredmény túl szép ahhoz, hogy ne próbáljunk meg ennél elegánsabb megoldást keresni. Ez (mivel bármelyik mező kiválasztásának a valószínűsége

\frac{1}{64}

) olyan szimmetriát sugall, hogy minden megfelelő lépésnek kölcsönösen egyértelműen meg lehet feleltetni egy nem megfelelő lépést. A megfeleltetés a következő: minden lépéshez hozzárendeljük a sakktábla első sorának felezőmerőlegesére vett tükrözéssel kapott lépést.

Megjegyzések. 1. Akik jól oldották meg a feladatot, azok az I. megoldáshoz hasonlóan gondolkoztak. A II. megoldáshoz hasonlóan senki nem dolgozott.
2. A leggyakoribb hiba annak feltételezése volt, hogy minden lépés azonos valószínűségű, és ennek megfelelően a keresett valószínűség a kedvező lépések és az összes lépés számának hányadosa. Ez a feltételezés azonban nyilván nem teljesül, hiszen ‐ mivel a bábut kezdetben bármelyik mezőre

\frac{1}{64}

valószínűséggel helyezzük le ‐ azok a lépések valószínűbbek, melyek olyan mezőről indulnak ki, ahonnan kevesebb huszár lépés lehetséges. Emellett igen gyakori volt még a számolási hibák elkövetése (például valamelyik mező esetén a kedvező lépés valószínűségének elszámolása).