Feladat: B.5022 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bencsik Ádám ,  Fraknói Ádám ,  Füredi Erik Benjámin ,  Györffi Ádám György ,  Hegedűs Dániel ,  Jánosik Máté ,  Kovács Tamás ,  Nádor Benedek ,  Nagy Nándor ,  Németh Norbert Marcell ,  Nguyen Bich Diep ,  Nyitrai Boglárka ,  Soós Máté ,  Terjék András József ,  Tiderenczl Dániel ,  Tóth Ábel ,  Tóth Bálázs ,  Zsigri Bálint 
Füzet: 2019/november, 481. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Kombinatorikus geometria síkban, Lefedések, Kombinatorikai leszámolási problémák
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2019/április: B.5022

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy egységsugarú kört toljunk el ugyanabban az irányban négyszer, 0,0002 távolságra.

 

 

Az így kapott öt darab egységkör középpontjai egy 0,0008 hosszúságú szakaszon helyezkednek el; ezért közülük bármely kettőnek két közös pontja van, és semelyik háromnak nincs közös pontja. Az utóbbi tulajdonság igazolásához tegyük fel, hogy valamelyik három körnek Q közös pontja. A Q középpontú, egységnyi sugarú körvonalon ekkor mindhárom kör középpontja rajta lenne, ami lehetetlen, hiszen az öt kör középpontjai kollineárisak.
Színezzük ezután az öt középpontot pirosra, a metszéspontokat pedig kékre. Bármelyik két körhöz két kék (metszés)pont tartozik, amelyek a két kört egyértelműen meghatározzák, így a kék pontok száma 2⋅(52)=20. A feladat feltételeit így kielégíti az a 20 darab egységsugarú kör, amelyek középpontjai a kék pontok. Tehát a kék pontok száma lehet 20.
Megmutatjuk, hogy 20-nál több viszont nem lehet. Több, mint 20 kék ponttal ugyanis legfeljebb 4 piros pont lehetne. Ekkor viszont csak az lehet kék pont, ami a piros pontok köré rajzolt egység sugarú körök metszéspontjában van, hiszen különben nem lehetne legalább két pirostól egységnyi távolságra. Azonban a négy körnek legfeljebb 2⋅(42)=12 metszéspontja lehet (bármely kettőnek legfeljebb kettő). Tehát legfeljebb 4 piros pontnál legfeljebb 12 kék pont lehet, ami nyilván ellentmondás.
Ezzel készen vagyunk: beláttuk, hogy 20 kék pontnál több nem lehet, és mutattunk példát 20-ra.
 

Hegedűs Dániel (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 10. évf.)