Kezdőlap


Feladat:	5135. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bokor Endre
Füzet:	2020/január, 53 - 54. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Erők forgatónyomatéka
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/május: 5135. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a kerekekre ható, a talaj által kifejtett erők megváltozását $F_{1}$ -gyel, $F_{2}$ -vel, $F_{3}$ -mal és $F_{4}$ -gyel. (Ezek a feladat ábráján bejelölt, a kerekek által a talajra ható $Δ F_{i}$ többleterők ellenerejei.) Az autó a vezető beszállása előtt egyensúlyban volt, és utána is egyensúlyban marad. A szuperpozíció elve alapján elegendő a két helyzet ,,különbségét'' vizsgálni, vagyis azt, hogy milyen feltételek mellett lenne egyensúlyban az autó, ha csak a $G$ , $F_{1}$ , $F_{2}$ , $F_{3}$ és $F_{4}$ erők hatnának rá.

Az ábrán látható különböző tengelyek bármelyikére felírhatjuk a forgatónyomatékok egyensúlyának feltételét. Az egyes tengelyeket a rájuk illeszkedő pontpárokkal adhatjuk meg. Ezek szerint fennáll:

\begin{matrix} A B tengelyre & \Rightarrow F_{1} + F_{2} = 2 (F_{3} + F_{4}), \\ B C tengelyre & \Rightarrow 2 (F_{1} + F_{4}) - G = F_{2} + F_{3}, \\ C D tengelyre & \Rightarrow F_{3} + F_{4} = 2 (F_{1} + F_{2}) - G, \\ D A tengelyre & \Rightarrow 2 (F_{2} + F_{3}) = F_{1} + F_{4} . \end{matrix}

A fenti egyenletek nem függetlenek egymástól, bármelyik háromból azonos átalakítások után megkaphatjuk a negyediket. Ezek szerint az egyik egyenletet elhagyhatjuk, majd algebrai átalakítások után kapjuk, hogy

\begin{matrix} F_{4} - F_{2} & = 0, & (1) \\ F_{1} + F_{2} & = \frac{2}{3} G, & (2) \\ F_{1} - F_{3} & = \frac{1}{3} G . & (3) \end{matrix}

Az (1)‐(3) egyenletek nem határozzák meg a négy ismeretlen erőt, még egy további feltételt kell keresnünk, hogy a feladatot megoldhassuk. Ez a feltétel nem lehet a függőleges irányú erőegyensúly egyenlete, hiszen (2) kétszereséből (1)-et és (3)-t kivonva az

F_{1} + F_{2} + F_{3} + F_{4} = G

összefüggést kapjuk. Ugyancsak eredménytelen, ha valamilyen más tengelyre írjuk fel a forgatónyomatékok egyensúlyának egyenletét, abból sem kapunk új, független információt.
A

P_{1}

P_{2}

P_{3}

és

P_{4}

pontok a kerékrugók felső, a merev alvázhoz kapcsolódó végét jelölik. Ezen pontok helyzete függ a rugók összenyomódásától, a függőleges irányú

Δ ℓ_{i}

elmozdulásuk pedig a vezető beszállásának hatására az

F_{i}

többleterővel arányos. Ennek megfelelően az

O

pont lesüllyedése egyrészt

\frac{1}{2} (Δ ℓ_{1} + Δ ℓ_{3})

, másrészt

\frac{1}{2} (Δ ℓ_{2} + Δ ℓ_{4})

alakban adható meg. Mivel a rugók egyformák és követik a Hooke-törvényt, fennáll, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{2} (F_{1} + F_{3}) = \frac{1}{2} (F_{2} + F_{4}) . \end{matrix}

(4)

Az (1)‐(4) egyenletrendszer már megoldható, és a keresett erőkre

F_{1} = 350 N

F_{2} = F_{4} = 210 N

és

F_{3} = 70 N

adódik.

Bokor Endre (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 10. évf.)
dolgozata alapján