Kezdőlap


Feladat:	5130. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Morvai Orsolya
Füzet:	2020/január, 52 - 53. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Táguló világegyetem (Hubble-törvény)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/április: 5130. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $4d\to2p$ átmenet során a hidrogénatom $n_{1} = 4$ -es főkvantumszámú állapotból $n_{2} = 2$ -es állapotba kerül. A hidrogénatom kvantált energiaszintjeit a Bohr-modell (vagy a kvantummechanika törvényei) szerint az

\begin{matrix} E_{n} = - \frac{m e^{4}}{8 ε_{0}^{2} h^{2}} \frac{1}{n^{2}} = - \frac{13, 6 eV}{n^{2}} \end{matrix}

összefüggés alapján számíthatjuk ki (ahol

m

az elektron tömege,

e

az elemi töltés,

h

pedig a Planck-állandó). Eszerint

E_{2} = - 3, 4

eV,

E_{4} = - 0, 85

eV, a felszabaduló energia:

E_{4} - E_{2} = + 2, 55

eV. Ez az energia az Einstein‐Planck-hipotézis szerint

\begin{matrix} λ_{0} = \frac{h c}{E_{4} - E_{2}} = 485 nm \end{matrix}

hullámhosszúságú fény keltésére elegendő (

c

a fénysebesség vákuumban).
A Földre érkező és itt megfigyelt fény

λ = 513

nm-es hullámhossza

Δ λ = λ - λ_{0} = 28

nm-rel nagyobb, mint a kibocsátott fényé, az tehát a vörös felé tolódott el. A vöröseltolódást a galaxis (és benne a csillag) nagy sebességű távolodása miatt fellépő Doppler-hatásként értelmezhetjük. A relativisztikus Doppler-képlet szerint

\begin{matrix} \frac{λ}{λ_{0}} = \sqrt[]{\frac{c + v}{c - v}}, \end{matrix}

ahonnan a csillag távolodási sebességére a

\begin{matrix} v = \frac{λ^{2} - λ_{0}^{2}}{λ^{2} + λ_{0}^{2}} c = 0, 056 c \approx 16 800 \frac{km}{s} \end{matrix}

értéket kapjuk. Lényegében ugyanezt az eredményt kapjuk, ha a nemrelativisztikus

v = \frac{Δ λ}{λ_{0}} c

formulából indulunk ki; így számolva

\begin{matrix} v = 0, 058 c \approx 17 400 \frac{km}{s} \end{matrix}

távolodási sebességet kapunk.
A Hubble-törvény kapcsolatot ad meg az extragalatikus objektum

r

távolsága és

v

távolodási sebessége között:

\begin{matrix} v = H r, ahol H \approx 70 \frac{km}{s\cdotMpc} . \end{matrix}

Ezek szerint a feladatban szereplő galaxis

r = \frac{v}{H} \approx 240 Mpc

távolságra van tőlünk; ez kb. 800 millió fényévnek felel meg.

Morvai Orsolya (Révkomárom, Selye János Gimn., 12. évf.)
dolgozata alapján