Kezdőlap


Feladat:	5156. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fülöp Sámuel Sihombing
Füzet:	2020/február, 117 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Erőrendszer eredője
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/október: 5156. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rózsa két részre osztható fel; egy kúppalástra és egy gömbsüvegre. Egyensúly esetén a két rész súlyából adódó forgatónyomatékok kiegyenlítik egymást:

\begin{matrix} G_{1} x_{1} = G_{2} x_{2}, \end{matrix}

ahol

G_{1}

és

G_{2}

a részeknek (az

A_{1,2}

-vel jelölt felszínükkel arányos) súlya,

x_{1}

és

x_{2}

pedig az egyes részek tömegközéppontjának az elválasztó síktól mért távolsága (lásd az ábrát). (Mivel a rózsa forgásszimmetrikus, a tömegközéppontok nyilván a szimmetriatengelyen helyezkednek el.) Az egyensúly feltétele tehát így is felírható:

\begin{matrix} A_{1} x_{1} = A_{2} x_{2} . \end{matrix}

(1)

A kúppalást felszíne (ha az alapkörének sugara

y

\begin{matrix} A_{1} = π r y, \end{matrix}

(2)

a tömegközéppontja pedig (lásd pl. a Függvénytáblázat 198. oldalát):

\begin{matrix} x_{1} = \frac{r - h}{3} . \end{matrix}

(3)

Egy

r

sugarú gömbfelületből kivágott,

h

vastagságú gömbsüveg felszíne (lásd pl. a Függvénytáblázat 66. oldalát)

\begin{matrix} A_{2} = 2 π r h, \end{matrix}

(4)

a tömegközéppontjának távolsága a körlap középpontjától pedig

\begin{matrix} x_{2} = \frac{h}{2} . \end{matrix}

(5)

Ez utóbbi úgy látható be, hogy gondolatban szétvágjuk a

h

magas gömbsüveget nagyon sok, egyforma vastag gömbövre. Ezeknek a gömböveknek a felszíne, és emiatt a tömegük is ugyanakkora, tehát az egész gömbsüveg tömegközéppontja a ,,középső gömböv'' középpontjában, a

h

felénél található.

Írjuk vissza (2)‐(5) alapján számított értékeket (1)-be:

\begin{matrix} π r y \frac{r - h}{3} = 2 π r h \frac{h}{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} y \frac{r - h}{3} = h^{2} . \end{matrix}

(6)

Határozzuk meg

y

-t az ábrán látható derékszögű háromszögből:

\begin{matrix} y^{2} = r^{2} - {(r - h)}^{2}, vagyis y = \sqrt[]{h (2 r - h)} . \end{matrix}

Ezt (6)-ba helyettesítve a

\begin{matrix} \sqrt[]{h (2 r - h)} \frac{r - h}{3} = h^{2} \end{matrix}

egyenletet kapjuk. Ebből négyzetre emelés és algebrai átalakítások után következik, hogy

\begin{matrix} 10 \frac{h^{3}}{r^{3}} - 4 \frac{h^{2}}{r^{2}} + 5 \frac{h}{r} - 2 = 0. \end{matrix}

Ez az

x \equiv h / r

arányra nézve harmadfokú egyenlet:

\begin{matrix} 10 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 2 \equiv (5 x - 2) (2 x^{2} + 1) = 0, \end{matrix}

aminek egyik gyöke

x = 2 / 5

, a másik két gyöke pedig nem valós.
Az egyensúlyban lévő test tengelye tehát

h / r = 2 / 5

arány esetén lesz vízszintes.

Fülöp Sámuel Sihombing (Pécs, Leőwey Klára Gimn., 12. évf.)

Megjegyzések. 1. Ha a fenti gondolatmenet helyett már a megoldás elején azt tételezzük fel, hogy a rózsa két részének tömege megegyezik, vagyis hogy

G_{1} = G_{2}

, akkor az egyensúly feltétele

x_{1} = x_{2}

lesz. Ez a

h / r

arányra egy elsőfokú egyenletet jelent:

\begin{matrix} \frac{r - h}{3} = \frac{h}{2}, \end{matrix}

aminek megoldása:

h / r = 2 / 5

. Visszahelyettesítéssel megkapjuk, hogy ilyen arányszám esetén

A_{1} = A_{2}

, vagyis a kezdeti feltevésünk helyes volt. Ez azonban nem bizonyítja, hogy más arányszám esetén nem lehet egyensúlyban a test a vízszintes tengelyállás mellett. A két félrész tömege (és súlyponttávolsága) általában különbözik egymástól, és csak

h / r = 2 / 5

aránynál egyeznek meg.
2. Több versenyző a forgásszimmetriára hivatkozva azt állította, hogy az egyensúly feltétele ugyanaz, mint ami a kétdimenziós esetben lenne, amikor az alakzat egy háromszögből és egy körcikkből állna. Ez azonban hibás állítás!
3. Érdekes, hogy a háromdimenziós esetben (vagyis egy tömör kúp és egy gömbszelet összeillesztésénél) is

h / r = 2 / 5

aránynál lesz a tengely egyensúlyi helyzete vízszintes.