Kezdőlap


Feladat:	B.5026	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baski Bence , Beke Csongor , Bencsik Ádám , Csaplár Viktor , Geretovszky Anna , Györffi Ádám György , Hámori Janka , Hegedűs Dániel , Jánosik Áron , Nagy Nándor , Nguyen Bich Diep , Osztényi József , Rares Polenciuc , Sándor Péter , Sebestyén Pál Botond , Szabó Kornél , Telek Zsigmond , Tiderenczl Dániel , Tóth Ábel , Várkonyi Zsombor , Velich Nóra , Weisz Máté , Zsigri Bálint
Füzet:	2019/október, 412 - 413. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Ellipszis, mint mértani hely
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/április: B.5026

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $P G = x$ , $P H = y$ , $G F_{1} = z$ , $H F_{2} = t$ . A szokásos jelölésekkel $F_{1} F_{2} = 2 c$ , $P F_{1} + P F_{2} = 2 a$ , ahol $2 a$ az ellipszis nagytengelyének, $\sqrt[]{a^{2} - c^{2}} = b$ pedig a fél kistengelyének a hossza. A szögfelező-tétel alapján

\begin{matrix} F_{1} E & = 2 c \cdot \frac{x + z}{x + z + y + t} = 2 c \cdot \frac{x + z}{2 a}, és \\ F_{2} E & = 2 c \cdot \frac{y + t}{x + z + y + t} = 2 c \cdot \frac{y + t}{2 a} . \end{matrix}

F_{1}

, illetve az

F_{2}

pontnak a körre vonatkozó hatványa:

\begin{matrix} z (x + z) = F_{1} E^{2} = {(2 c \cdot \frac{x + z}{2 a})}^{2}, illetve t (y + t) = F_{2} E^{2} = {(2 c \cdot \frac{y + t}{2 a})}^{2} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} z = (x + z) \frac{c^{2}}{a^{2}} és t = (y + t) \frac{c^{2}}{a^{2}}, \end{matrix}

azaz egyrészt

\begin{matrix} x \frac{c^{2}}{a^{2}} = z (1 - \frac{c^{2}}{a^{2}}) = z \frac{b^{2}}{a^{2}}, így x = z \frac{b^{2}}{c^{2}}; \end{matrix}

másrészt hasonlóan

\begin{matrix} y \frac{c^{2}}{a^{2}} = t (1 - \frac{c^{2}}{a^{2}}) = t \frac{b^{2}}{a^{2}}, így y = t \frac{b^{2}}{c^{2}} . \end{matrix}

Innen

\frac{x}{y} = \frac{z}{t} = \frac{x + z}{y + t}

, tehát a

P G H

háromszög hasonló a

P F_{1} F_{2}

háromszöghöz, a hasonlóság aránya

\begin{matrix} \frac{x}{x + z} = \frac{z \frac{b^{2}}{c^{2}}}{z \frac{b^{2} + c^{2}}{c^{2}}} = \frac{b^{2}}{b^{2} + c^{2}} . \end{matrix}

Ezért

\begin{matrix} G H = F_{1} F_{2} \cdot \frac{b^{2}}{b^{2} + c^{2}} = 2 c \cdot \frac{b^{2}}{b^{2} + c^{2}}, \end{matrix}

ami valóban független a

P

pont választásától.

Geretovszky Anna (Szegedi Radnóti Miklós Kísérleti Gimn., 11. évf.)