Kezdőlap


Feladat:	B.5010	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Apagyi Dávid , Baski Bence , Beke Csongor , Bukva Dávid , Csaplár Viktor , Füredi Erik Benjámin , Geretovszky Anna , Györffi Ádám György , Hámori Janka , Hegedűs Dániel , Jánosik Áron , Kerekes Anna , Kovács Tamás , Nagy Nándor , Rares Polenciuc , Stomfai Gergely , Telek Zsigmond , Tiderenczl Dániel , Tóth Balázs , Weisz Máté , Zsigri Bálint
Füzet:	2019/szeptember, 350 - 351. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Hozzáírt körök, Háromszög területe
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/február: B.5010

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először belátjuk, hogy az $A_{0} B_{0} C_{0}$ háromszögben a $C_{0}$ -ból induló $m_{C_{0}}$ , és az $A_{3} B_{3} C_{3}$ háromszögben a $C_{3}$ -ból induló $m_{C_{3}}$ magasságok megegyeznek. Ennek igazolásához tekintsük az ábrát.

Mivel a külső pontból körhöz húzott érintők hossza megegyezik, ezért

C A_{0} = C B_{0}

, illetve

C A_{3} = C B_{3}

. Természetesen ebből az is adódik, hogy

A_{0} B_{0}

és

A_{3} B_{3}

párhuzamos szakaszok, amelyek közös szakaszfelező merőlegese éppen a

C

-beli belső szögfelező, jelöljük ezt

f

-fel.
Az

m_{C_{0}}

és

m_{C_{3}}

magasságok éppen az

f

-re vett vetületekkel adhatók meg, ezért jelölje tetszőleges

x

szakasz

f

-re vonatkozó merőleges vetületét

x^{f}

. Az ábráról leolvasható, hogy

m_{C_{0}} = {(C_{0} B)}^{f} + {(B A_{0})}^{f}

, illetve

m_{C_{3}} = {(C_{3} A)}^{f} + {(A B_{3})}^{f}

.
Jól ismert, hogy

\begin{matrix} A B_{3} = A C_{3} = B C_{0} = B A_{0} = s - b, \end{matrix}

ahol

s

A B C

háromszög kerületének fele. Ebből egyrészt nyilvánvalóan

{(C_{3} A)}^{f} = {(C_{0} B)}^{f}

, mivel

C_{3} A

és

C_{0} B

közös egyenesre illeszkedő, egyenlő hosszú szakaszok. Másrészt

{(A B_{3})}^{f} = {(B A_{0})}^{f}

is következik, mivel ez a két szakasz is egyenlő hosszú, és

A B_{3}

f

-re vonatkozó tükörképe illeszkedik a

B A_{0}

egyenesre. Ezzel az

m_{C_{0}} = m_{C_{3}}

egyenlőséget beláttuk. Hasonlóan igazolhatók az

m_{B_{0}} = m_{B_{2}}

és

m_{A_{0}} = m_{A_{1}}

összefüggések is (értelemszerű jelölésekkel).
Felhasználva a bizonyított

m_{C_{0}} = m_{C_{3}}

összefüggést, továbbá a párhuzamos szelőszakaszok tételét kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{T_{0}}{T_{3}} = \frac{B_{0} A_{0}}{B_{3} A_{3}} = \frac{C B_{0}}{C B_{3}} = \frac{s - c}{s}, \end{matrix}

s hasonlóan

\begin{matrix} \frac{T_{0}}{T_{2}} = \frac{s - b}{s} és \frac{T_{0}}{T_{1}} = \frac{s - a}{s} . \end{matrix}

Ezeket összegezve

\begin{matrix} \frac{T_{0}}{T_{1}} + \frac{T_{0}}{T_{2}} + \frac{T_{0}}{T_{3}} = \frac{s - a}{s} + \frac{s - b}{s} + \frac{s - c}{s} = \frac{3 s - 2 s}{s} = 1, \end{matrix}

ami a bizonyítandóval ekvivalens.

Nagy Nándor (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.)