Feladat:	5144. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sepsi Csombor Márton
Füzet:	2019/december, 566 - 567. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Görbevonalú mozgás lejtőn
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/szeptember: 5144. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.    Az 1. ábra az elrendezés oldalnézeti (a tartórúd és az egyensúlyi helyzetű fonál által meghatározott síkra merőleges nézetét) mutatja. Feltüntettük az ingatestre ható erőket: $K$ a fonalat feszítő erő, $T$ a lejtő által kifejtett ,,tartóerő'' és $mg$ az $m$ tömegű ingatestre ható nehézségi erő.   $\begin{array}{c}\text{ 1. ábra }\end{array}$ $\begin{array}{c}\text{ 2. ábra }\end{array}$   Kis amplitúdójú lengések esetén az ingatest mozgása jó közelítéssel egyenes vonalú (vízszintes irányú) mozgás. Ez az egyenes és az inga fonala által meghatározott sík a lengés síkja. A 2. ábra a lengés síkjára merőleges irányú ,,szembenézetet'' ábrázolja. Ezen a nézeten leolvasható, hogy amikor az egyensúlyi helyzettől mért szögkitérés $\phi$, vagyis a vízszintes irányú kitérés $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\ell \text{sin}\phi \approx \ell \phi \mathrm{,}}\end{array}$ akkor az ingatestet $\begin{array}{c}{\displaystyle K\text{'}=K\text{sin}\phi =K\frac{x}{\ell }}\end{array}$ (1) nagyságú erő húzza vissza az egyensúlyi helyzet felé. Az ingatest ténylegesen egy körív mentén mozog, ezt a mozgást azonban közelíthetjük egy egyenes (a kör érintője) menti mozgással. A kis kitérésű mozgás során az ingatest sebessége mindvégig kicsi, ezért a tartórúd talppontja felé mutató, a sebesség négyzetével arányos $a_{\text{cp}}$ centripetális gyorsulást elhanyagolhatjuk. Írjuk fel az oldalnézeti ábrán lejtő irányúnak látszó, a $T$-re merőleges irányban a mozgásegyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle m{a}_{\text{cp}}=mg\text{sin}\alpha -K\text{cos}\beta \text{cos}\phi \approx \mathrm{0,}}\end{array}$ vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle K\approx mg\frac{\text{sin}\alpha }{\text{cos}\beta \text{cos}\phi }\approx mg\frac{\text{sin}\alpha }{\text{cos}\beta }\mathrm{.}}\end{array}$ (2) (Felhasználtuk, hogy kis kitérések esetén $\text{cos}\phi \approx 1$.) Amennyiben (2)-t a vízszintes irányú erő (1) képletébe helyettesítjük, megkapjuk az $x$ kitéréshez tartozó erőt: $\begin{array}{c}{\displaystyle K\text{'}=\frac{mgx}{\ell }\frac{\text{sin}\alpha }{\text{cos}\beta }\equiv D\cdot x\mathrm{.}}\end{array}$ Felismerhetjük, hogy ez az erőtörvény megegyezik a $D=\frac{mg}{\ell }\frac{\text{sin}\alpha }{\text{cos}\beta }$ ,,rugóállandójú'' harmonikus rezgőmozgás erőtörvényével, és emiatt a feladatban szereplő ferde inga periódusideje: $\begin{array}{c}{\displaystyle T=2\pi \sqrt[]{\frac{m}{D}}=2\pi \sqrt[]{\frac{\ell }{g}\frac{\text{cos}\beta }{\text{sin}\alpha }}\mathrm{.}}\end{array}$    Sepsi Csombor Márton (Zalaegerszegi Zrínyi M. Gimn., 11. évf.)  dolgozata alapján