Kezdőlap


Feladat:	5141. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bonifert Balázs
Füzet:	2019/december, 564 - 566. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Kondenzátorok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/május: 5141. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ Legyen $d$ a lemez teteje és a kondenzátor felső része közötti távolság (esetünkben $d = \frac{3}{4} d_{0} = 3 cm$ ), a lemez területe pedig $A$ . A kialakuló elektromos tér olyan, mint amilyen egy $U_{0}$ feszültséggel feltöltött,

\begin{matrix} C = ε_{0} \frac{A}{d} \end{matrix}

kapacitású kondenzátor belsejében lenne. A kondenzátor felső lemezére

Q = C U_{0}

töltés kerül, az alumíniumlemez felső oldalára pedig

- Q

. (A lemez belsejében nincs elektromos tér, a kondenzátor alsó lemeze pedig töltetlen.)
Az így kialakuló ,,új kondenzátor'' belsejében

E = U_{0} / d

nagyságú, homogénnek tekinthető elektromos tér lesz, ami

\begin{matrix} F = \frac{1}{2} E Q = \frac{C U_{0}^{2}}{2 d} = \frac{8}{9} \frac{A U_{0}^{2} ε_{0}}{d_{0}^{2}} \end{matrix}

erőt fejt ki az alumíniumlemezre. Ha ez az erő nagyobb, mint a lemez

\begin{matrix} G = m g = ϱ g A (d_{0} - d) = \frac{1}{4} ϱ g A d_{0} \end{matrix}

súlya, akkor a lemez felemelkedik. (

ϱ = 2700 {kg/m}^{3}

az alumínium sűrűsége.) Ez akkor következik be, ha

\begin{matrix} U_{0} > \sqrt[]{\frac{9}{32} \frac{ϱ g d_{0}^{3}}{ε_{0}}} \approx 232 kV. \end{matrix}

b)

Legyen most a tápfeszültség

U

, a lemez vastagsága pedig

x d_{0}

. A lemez felemelkedésének feltétele:

\begin{matrix} F = \frac{A U^{2} ε_{0}}{2 d_{0}^{2} {(1 - x)}^{2}} > ϱ g A x d_{0} = G, \end{matrix}

vagyis adott

U

esetén akkor emelkedik fel a lemez, ha a vastagságát jellemző

x

számra érvényes, hogy

\begin{matrix} \frac{ε_{0} U^{2}}{2 ϱ g d_{0}^{3}} > x {(1 - x)}^{2} . \end{matrix}

c)

b)

részben kapott egyenlőtlenséget a feszültségre rendezve:

\begin{matrix} U > \sqrt[]{x {(1 - x)}^{2}} \cdot \sqrt[]{2 \frac{ϱ g d_{0}^{3}}{ε_{0}}} \approx \sqrt[]{x {(1 - x)}^{2}} \cdot 620 kV. \end{matrix}

f (x) = \sqrt[]{x {(1 - x)}^{2}}

függvénynek

x^{*} = \frac{1}{3}

-nál helyi maximuma van, és a legnagyobb függvényérték a fizikailag értelmes

0 < x < 1

tartományban

\begin{matrix} f_{max} = f (x^{*}) = \sqrt[]{\frac{4}{27}} \approx 0, 385. \end{matrix}

(Ezt differenciálszámítással, grafikus ábrázolással, algebrai átalakítással, esetleg a https://www.wolframalpha.com/ vagy a geogebra program segítségével láthatjuk be.)
Ezek szerint ha az

U

feszültség nagyobb, mint

\begin{matrix} U^{*} = f_{max} \cdot 620 kV \approx 240 kV, \end{matrix}

akkor az alumíniumlemez a vastagságától függetlenül biztosan felemelkedik.

Bonifert Balázs (Budapest, Baár-Madas Ref. Gimn., 10. évf.)
dolgozata alapján