Kezdőlap


Feladat:	5138. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Tiefenbeck Flórián
Füzet:	2019/november, 504 - 505. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Hővezetés
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/május: 5138. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Newton-féle lehűlési törvény szerint egy kezdetben $T_{0}$ hőmérsékletű test hőmérséklete $t$ idő múlva

\begin{matrix} T = T_{k} + (T_{0} - T_{k}) e^{- k t}, \end{matrix}

(1)

ahol

T_{k}

a környezet hőmérséklete,

k

egy (a lehűlő test anyagától, tömegétől és a felületének nagyságától függő) állandó. A feladatban szereplő összes esetben

k

ugyanakkora. A lehűlési törvénybe a hőmérsékleteknek akár a Kelvin skála, akár a Celsius skála szerinti számértékeit írhatjuk be. Az (1) összefüggésből az időt kifejezve:

\begin{matrix} t = \frac{ln (\frac{T_{0} - T_{k}}{T - T_{k}})}{k} . \end{matrix}

(2)

Tudjuk még, hogy ha egy liter

T_{1}

és egy liter

T_{2}

hőmérsékletű vizet összekeverünk, akkor a közös hőmérséklet

\frac{1}{2} (T_{1} + T_{2})

lesz.

(i)

Az első esetben

T_{0} = 80^{\circ} C

T_{k} = 30^{\circ} C

és

T = 40^{\circ} C

, azaz (2) szerint

\begin{matrix} t_{0} = \frac{ln (\frac{80 - 30}{40 - 30})}{k} = \frac{ln (5)}{k} . \end{matrix}

(i i)

A víz

t_{1}

idő alatt hűl le

50^{\circ} C

-ra, majd a keverés után rögtön beáll a kívánt

40^{\circ} C

. Fennáll tehát, hogy

\begin{matrix} t_{1} = \frac{ln (\frac{80 - 30}{50 - 30})}{k} = \frac{ln (2, 5)}{k} . \end{matrix}

(i i i)

80^{\circ} C

-os és a

30^{\circ} C

-os víz elkeveredése után a hőmérséklet

55^{\circ} C

lesz, tehát a hűlés ideje most

\begin{matrix} t_{2} = \frac{ln (\frac{55 - 30}{40 - 30})}{k} = \frac{ln (2, 5)}{k} . \end{matrix}

(i v)

Az első lehűlési szakasz végén a hőmérséklet

60^{\circ} C

, ez a szakasz tehát

\begin{matrix} t_{3 a} = \frac{ln (\frac{80 - 30}{60 - 30})}{k} = \frac{ln (\frac{5}{3})}{k} \end{matrix}

ideig tart. A második lehűlés elején a keverék

45^{\circ} C

hőmérsékletű, a hűlés ideje

\begin{matrix} t_{3 b} = \frac{ln (\frac{45 - 30}{40 - 30})}{k} = \frac{ln (\frac{3}{2})}{k} . \end{matrix}

A teljes hűlési folyamat ideje most

\begin{matrix} t_{3} = t_{3 a} + t_{3 b} = \frac{ln (\frac{5}{3})}{k} + \frac{ln (\frac{3}{2})}{k} = \frac{ln (\frac{5}{2})}{k} . \end{matrix}

Látható, hogy az első hűtési módszer a leglassabb, a másik három viszont ugyanolyan gyors. Az előzőek alapján

\begin{matrix} t_{3} = t_{2} = t_{1} = \frac{ln (\frac{5}{2})}{ln (5)} t_{0} = 0, 57 t_{0} . \end{matrix}

Tiefenbeck Flórián (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.)
dolgozata alapján