Kezdőlap


Feladat:	5116. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bokor Endre , Elek Péter , Makovsky Mihály , Marozsák Tádé , Olosz Adél , Sal Dávid , Sas Mór
Füzet:	2019/november, 499 - 500. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Pontszerű elektromos töltés, Gömbkondenzátor
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/március: 5116. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a gömbök egymástól nagyon távol helyezkednek el, az egyes töltések körüli térben a másik töltés által okozott torzulás elhanyagolhatóan kicsi. Ebben a közelítésben mindkét töltés közelében az elektromos erőtér gömbszimmetrikus Coulomb-tér, csak a vezető gömbhéjak belsejében különbözik attól: ott (egy-egy $d$ vastagságú rétegben) az elektromos térerősség nulla.
Számítsuk ki az eletrosztatikus tér energiáját az eredeti és a felcserélt töltések esetében is. A kezdeti és a végállapot energiájának különbsége megadja a töltések felcseréléséhez szükséges minimális munka nagyságát.
Számítsuk ki, hogy mekkora az elektrosztatikus tér energiája akkor, ha két távoli, $q_{1}$ és $q_{2}$ nagyságú töltés körül egy-egy $d$ vastagságú, $r_{1}$ és $r_{2}$ belső sugarú vezető gömbhéj található. Legyen az energia nullszintje az egymástól távoli két töltés terének energiája a fémgömbhéjak nélkül. (Ilyen választás mellett a gömbhéjakat tartalmazó elrendezés energiája negatív.)
Ismert, hogy egy $V$ térfogatú térrészben az elektrosztatikus energia $\frac{1}{2} ε_{0} E^{2} \cdot V$ , amennyiben a térrészben $E (r)$ nagysága mindenhol ugyanakkora. Mivel a gömbhéjakat tartalmazó és a gömbhéjak nélküli eset között csak annyi különbség, hogy az utóbbinál ,,hiányzik'' a két gömbhéj belsejéhez tartozó energia, a minket érdeklő esetben tehát a rendszer energiája

\begin{matrix} W = - \frac{d}{8 π ε_{0}} (\frac{q_{1}^{2}}{r_{1}^{2}} + \frac{q_{2}^{2}}{r_{2}^{2}}) . \end{matrix}

A fenti összefüggés levezetésekor kihasználtuk, hogy a

q_{1}

töltés körüli gömbhéj térfogata

\begin{matrix} V_{1} \approx 4 π r_{1}^{2} d, \end{matrix}

és benne az állandó nagyságúnak tekinthető térerősség

\begin{matrix} E_{1} \approx \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q_{1}}{r_{1}^{2}}, \end{matrix}

illetve a másik gömbhéj térfogata

\begin{matrix} V_{2} \approx 4 π r_{2}^{2} d, \end{matrix}

és benne a térerősség nagysága

\begin{matrix} E_{2} \approx \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{q_{2}}{r_{2}^{2}} . \end{matrix}

A kezdeti állapotban

\begin{matrix} q_{1} = 2 Q, r_{1} = R, illetve q_{2} = Q, r_{2} = 3 R, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} W_{kezdeti} = - \frac{37}{72} \frac{d}{π ε_{0}} \frac{Q^{2}}{R^{2}}, \end{matrix}

a töltések felcserélése után pedig

\begin{matrix} q_{1} = Q, r_{1} = R, illetve q_{2} = 2 Q, r_{2} = 3 R, \end{matrix}

így

\begin{matrix} W_{végső} = - \frac{13}{72} \frac{d}{π ε_{0}} \frac{Q^{2}}{R^{2}} . \end{matrix}

A töltések felcseréléséhez szükséges munka legalább

\begin{matrix} W_{felcserélési} \geq W_{végső} - W_{kezdeti} = + \frac{d}{3 π ε_{0}} \frac{Q^{2}}{R^{2}} . \end{matrix}

Bokor Endre (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 10. évf.) és
Marozsák Tádé (Budapest, Óbudai Árpád Gimn., 11. évf.)
dolgozata alapján