Kezdőlap


Feladat:	5123. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Molnár Mátyás
Füzet:	2019/október, 440 - 442. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Pontrendszerek mozgásegyenletei, Csúszó súrlódás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/április: 5123. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ A kocsi ‐ a kis test mozgása miatt fellépő súrlódási erő miatt ‐ gyorsulni fog, a hozzá rögzített vonatkoztatási rendszer tehát nem inerciarendszer. Célszerű a mozgást a talaj vonatkoztatási rendszerében leírni. Itt (mivel vízszintes irányú külső erők nem hatnak) alkalmazható a lendületmegmaradás törvénye. Ha a kis test már nem mozog a kocsihoz képest, akkor a közös $v_{1}$ sebességükre fennáll:

\begin{matrix} m v_{0} = (M + m) v_{1}, vagyis v_{1} = v_{0} \frac{m}{M + m} = 0, 2 \frac{m}{s} . \end{matrix}

b)

A munkatétel is alkalmazható:

\begin{matrix} W = \frac{1}{2} (m + M) v_{1}^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2}, \end{matrix}

ahol

W

(a súrlódási erő munkája) az

F = μ m g

súrlódási erőből és a kis testnek a kiskocsin megtett

s

útjából számolható:

\begin{matrix} W = - F s = - μ m g s . \end{matrix}

Ezek szerint

\begin{matrix} s = \frac{\frac{1}{2} m v_{0}^{2} - \frac{1}{2} (m + M) v_{1}^{2}}{μ m g} = 0, 41 m . \end{matrix}

Mivel

L < s < 2 L

, a kis test egyszer ütközik a kiskocsi jobb oldali falával, így a kocsi bal oldali falától

x = 2 L - s = 0, 19 m

távolságra lesz akkor, amikor már nem mozog a kiskocsihoz képest.

c)

Az első ütközés után legyen a kis test sebessége

v_{m}

, a kiskocsi sebessége pedig

v_{M}

. (A sebességeket jobb felé,

v_{0}

-lal megegyező irányban tekintjük pozitívnak. Nyilván teljesülnie kell a

v_{M} > v_{m}

feltételnek, hiszen a kis test ekkor távolodik a kocsi jobb oldali falától.) A lendületmegmaradás törvénye szerint

\begin{matrix} m v_{0} = m v_{m} + M v_{M}, tehát v_{m} = v_{0} - \frac{M}{m} v_{M} . \end{matrix}

Mivel a kis test egyszer csúszik végig a kocsi platóján, vagyis a relatív elmozdulás éppen

L

, a munkatétel most így alkalmazható:

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v_{m}^{2} + \frac{1}{2} M v_{M}^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = - μ g L, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} m v_{0}^{2} - 2 μ m g L = m v_{m}^{2} + M v_{M}^{2} . \end{matrix}

Felhasználva

v_{m}

fentebb megadott kifejezését:

\begin{matrix} m v_{0}^{2} - 2 μ m g L = m {(\frac{m v_{0} - M v_{M}}{m})}^{2} + M v_{M}^{2}, \end{matrix}

vagyis átrendezés után a következő másodfokú egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} 0 = v_{M}^{2} (M^{2} + M m) - v_{M} \cdot 2 M m v_{0} + 2 μ m^{2} g L = 0. \end{matrix}

Ennek megoldása:

\begin{matrix} v_{M} = \frac{m v_{0}}{M + m} (1 \pm \sqrt[]{1 - \frac{2 μ g L (M + m)}{M v_{0}^{2}}}) \approx 0, 2 \cdot (1 \pm 0, 5) \frac{m}{s} . \end{matrix}

A két gyök közül az egyik az ütközés előtti, a másik pedig az ütközés utáni állapotnak felel meg, hiszen mindkét esetben érvényes mind a lendületmegmaradás törvénye, mind pedig a munkatétel fentebb felírt alakja. Az ütközés után a kiskocsi sebessége nagyobb lesz, mint amekkora az ütközés előtt volt, tehát nekünk a másodfokú egyenlet nagyobb gyökét kell választanunk.

\begin{matrix} v_{M} = \frac{m v_{0}}{M + m} (1 + \sqrt[]{1 - \frac{2 μ g L (M + m)}{M v_{0}^{2}}}) \approx 0, 3 \frac{m}{s}, \end{matrix}

a kis méretű test sebessége pedig

\begin{matrix} v_{m} = v_{0} - \frac{M}{m} v_{M} \approx - 0, 2 \frac{m}{s} . \end{matrix}

Molnár Mátyás (Révkomárom, Selye János Gimn., 12. évf.)
dolgozata alapján