Kezdőlap


Feladat:	662. fizika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Sárvári Borka Luca
Füzet:	2019/október, 438 - 440. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyakorlat, Csúszásmentes (tiszta) gördülés
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/február: 662. fizika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A korong és a henger(ek) mozgása szempontjából az oldalirányú méretek lényegtelenek, ezért mindhárom elrendezésnek csak az oldalnézetét (2D ábrázolását) vizsgáljuk.
Mindhárom esetben a korong a talajjal érintkező $P$ pontja (a pillanatnyi forgástengely) körül fordul el. Ha a korong középpontjának $u$ sebességét szeretnénk meghatározni, elegendő a korongnak a függőleges $O P$ szakasz menti vékony darabját tekinteni, vagyis a korongból képzeletben kivágott, vékony rúd mozgását vizsgálni. Egy ilyen, a legalsó $P$ pontja körül elforduló rúd bármelyik pontjának sebessége egyenesen arányos a $P$ ponttól mért távolsággal, amint azt az 1. ábra mutatja.

1. ábra

(a)

esetben, amikor a korongot (a ,,rudat'') az

A

pontban

v

sebességgel jobbra (előre) húzzuk, a korong középpontjának

u_{a}

sebessége nagyobb lesz, mint

v

, hiszen

O P > A P

, és látható, hogy a korong előrefelé mozdul el.
A

(b)

esetben, amikor a fonál a

B

pontban húzza a korongot,

B P > O P

miatt a középpont

u_{b}

sebessége kisebb

v

-nél, és a korong most is előre fog mozogni.

2. ábra

(c)

eset az előzőeknél kicsit bonyolultabb, mert a felső henger nem a

P

pont körül fordul el, hanem egy másik, a 2. ábrán

P'

-vel jelzett ponton átmenő, az ábra síkjára merőleges egyenes lesz a pillanatnyi forgástengely. (Az áttekinthetőség kedvéért az ábrán a rúdszerkezetet és a görgőket nem tüntettük fel. Tekintsük először a nagyobb korong és a hozzá rögzített alsó henger mozgását! Ha a kis henger legfelső pontja valamekkora

v^{*}

sebességgel mozog jobbra, az

O_{1}

középpontja

u_{c}

, a legalsó

H

pontja pedig

u_{H}

sebességgel mozog ugyancsak jobb felé. Ezek a sebességek a megfelelő pontoknak

P

-től mért távolságával arányosak (lásd az

(a)

esetet), ezért

v^{*}

annyival nagyobb

u_{c}

-nél, amennyivel

u_{c}

nagyobb az

u_{H}

sebességnél. Másképp fogalmazva:

u_{c}

megegyezik

v^{*}

és

u_{H}

átlagával (számtani közepével).
Nézzük most a felső hengert. Ennek

O_{2}

középpontja ugyanakkora

u_{c}

sebességgel mozog, mint a korong középpontja, ezt a merev rúdszerkezet garantálja. Itt is igaz, hogy a korong legalsó pontjának

v^{*}

sebessége annyival nagyobb a középpont sebességénél, amennyivel

u_{c}

nagyobb a legfelső,

G

-vel jelölt pont

u_{G}

sebességénél. Ez utóbbi a fonál sebességével egyezik meg:

u_{G} = v

. Látjuk tehát, hogy a

(c)

esetben is előrefelé mozog a szerkezet, és a korong középpontjának sebessége nagyobb

v

-nél.
Az is leolvasható a 2. ábráról, hogy

u_{G} = u_{H} = v

, vagyis mindegy, hogy a felső vagy az alsó hengerre csévélt fonállal húzzuk a korongot, a korong középpontjának sebessége ugyanakkora, a fonál sebességével azonos irányú, de annál nagyobb lesz (

u_{a} = u_{c} > v

Megjegyzés. Ha a korong sugara

R

, a kis hengereké pedig

r

, akkor a korong középpontjának sebessége a három esetben:

\begin{matrix} u_{a} = u_{c} = \frac{R}{R - r} v, u_{b} = \frac{R}{R + r} v . \end{matrix}

Ezek az összefüggéseket (amelyek levezetése nem tartozott a feladathoz) könnyen leolvashatók az 1. ábrán látható hasonló háromszögekből. Ezekben a képletekben

v

együtthatói

r < R

esetén pozitív számok, tehát mindhárom esetben

u

és

v

iránya megegyezik.
Elképzelhető az az eset is, amikor

r > R

. (Ez úgy valósulhat meg, hogy a korong egy keskeny, vízszintes lécen gördül, és az

r

sugarú hengerek a léc két oldalán a léc alá nyúlnak.) A fenti képletekből látszik, hogy ilyenkor

u_{a}

és

u_{c}

ellentétes előjelű, mint

v

, tehát a korong középpontja ,,visszafelé'' fog mozogni. A

(b)

esetben a korong középpontja mindig előrefelé mozog, akármekkora is

r

és

R

.
Érdekes még az

r = R

eset. Ilyenkor

u_{b} = v / 2

, és a mozgás létrejöhet. Az

(a)

és a

(c)

eset azonban nem valósulhat meg, mert a csúszásmentes korongnak a talajjal érintkező pontja nem mozoghat

v \neq 0

sebességgel.

(G. P.)