Kezdőlap


Feladat:	5110. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Varga Vázsony
Füzet:	2019/szeptember, 373 - 374. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb mesterséges holdak, Bolygómozgás, Kepler törvények
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2019/február: 5110. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az általános sebességképlet ellipszispályán való keringés esetén:

\begin{matrix} v = \sqrt[]{γ M (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})} . \end{matrix}

ahol

γ

és

M

konstansok,

a

a fél nagytengely (ami a két műholdnál ugyanakkora),

r

pedig a vezérsugár pillanatnyi nagysága.

Megjegyzés. A fenti képlet megtalálható a ,,Négyjegyű függvénytáblázatokban'', de könnyen levezethető az energiamegmaradás törvényéből és a Newton-féle mozgásegyenletből, ha felhasználjuk az ellipszis görbületi sugarának formuláját pl. a perigeumban.

Ezek szerint a két mesterséges hold sebességének aránya tetszőleges

r_{1}

és

r_{2}

vezérsugaraknál:

\begin{matrix} \frac{v_{1}}{v_{2}} = \sqrt[]{\frac{\frac{2}{r_{1}} - \frac{1}{a}}{\frac{2}{r_{2}} - \frac{1}{a}}} . \end{matrix}

Perigeumban

\begin{matrix} r_{1,2} = a - c_{1,2} = a (1 - e_{1,2}), \end{matrix}

apogeumban

\begin{matrix} r_{1,2} = a + c_{1,2} = a (1 + e_{1,2}), \end{matrix}

ahol

e = c / a

a kérdéses pálya (numerikus) excentricitása.
Tudjuk, hogy

e_{1} = \frac{1}{2}

, így a perigeumban

\begin{matrix} {(\frac{v_{1}}{v_{2}})}^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2} = \frac{9}{4} = \frac{\frac{2}{1 - e_{1}} - 1}{\frac{2}{1 - e_{2}} - 1} = \frac{3}{\frac{2}{1 - e_{2}} - 1} . \end{matrix}

Ebből megkapjuk a másik pálya excentricitását:

\begin{matrix} \frac{4}{3} = \frac{2}{1 - e_{2}} - 1 \Rightarrow 1 - e_{2} = \frac{2}{\frac{4}{3} + 1} = \frac{6}{7} \Rightarrow e_{2} = \frac{1}{7}, \end{matrix}

valamint a sebességek arányát az apogeumban:

\begin{matrix} \frac{v_{1}'}{v_{2}'} = \sqrt[]{\frac{\frac{2}{1 + e_{1}} - 1}{\frac{2}{1 + e_{2}} - 1}} = \sqrt[]{\frac{\frac{4}{3} - 1}{\frac{7}{4} - 1}} = \sqrt[]{\frac{\frac{1}{3}}{\frac{3}{4}}} = \sqrt[]{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} . \end{matrix}

Varga Vázsony (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 10. évf.)