Feladat:	B.4984	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2019/május, 284 - 285. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Oszthatóság, Polinomok, Polinomok oszthatósága
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/november: B.4984

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Az $x=1$-re nyilván $y=1$ megfelelő. Ha $x>1$ és páratlan, akkor legyen $y=x-1$; ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle x+y+1=2x\mid 2x^3-3\left(x-1\right)x=x^3+{\left(x-1\right)}^3+1=x^3+y^3+1.}\end{array}$ Végül, ha $x$ páros, akkor legyen $y=x+1$. Ekkor $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x+y+1}& {\displaystyle =x+\left(x+1\right)+1=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =2\left(x+1\right)\mid \left(x+1\right)\left(2x^2+x+2\right)}\hfill & {\displaystyle =2x^3+3x^2+3x+2=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle =x^3+{\left(x+1\right)}^3+1=x^3+y^3+1.}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Legyen ezután $x$ tetszőleges pozitív egész. Mivel $\begin{array}{c}{\displaystyle x^3+y^3+1=\left(x+y+1\right)\left(y^2-\left(x+1\right)y+{\left(x+1\right)}^2\right)+x^3+1-{\left(x+1\right)}^3\mathrm{,}}\end{array}$ azért $x+y+1\mid x^3+y^3+1$ esetén $x+y+1\mid x^3+1-{\left(x+1\right)}^3$. Az utóbbi egész szám semmilyen pozitív egész $x$-re nem lehet $0$ (hiszen két szomszédos pozitív köbszám különbsége nagyobb, mint 1), ezért csak véges sok osztója van. Tehát nincs olyan pozitív egész $x$, amelyhez végtelen sok megfelelő $y$ tartozna.   Csertán András (Nagykanizsa, Batthyány L. Gimn., 12. évf.)     II. megoldás. Az $a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)$ azonosság miatt $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(x+1\right)+y\mid {\left(x+1\right)}^3+y^3=\left(x^3+y^3+1\right)+\left(3x^2+3x\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Így $y$ pontosan akkor teljesíti a feladat feltételét, ha $3x^2+3x=3x\left(x+1\right)$ osztható $x+y+1$-gyel. Ez pedig teljesül, ha $y=2x-1$, hiszen akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle x+y+1=3x\mid 3x\left(x+1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Az is látszik, hogy a $0$-tól különböző $3x\left(x+1\right)$-nek csak véges sok osztója van, ezért $x+y+1$ csak véges sok megfelelő értéket vehet fel, tehát $y$ is.   Ajtai Boglárka (Miskolc, Földes F. Gimn., 12. évf.)   Megjegyzés. Használjuk fel az $x^3+y^3+1=\left(x+y+1\right)\left(x^2-xy-x+y^2-y+1\right)+3xy$ azonosságot. A feladat feltétele ekkor $x+y+1\mid 3xy$. A véges sok megfelelő tulajdonságú $y$ létezése abból is következik, hogy ha (adott $x$ mellett) $y>3x^2+2x-1$, akkor $3xy>3xy-y+3x^2+2x-1=\left(x+y+1\right)\left(3x-1\right)$ szerint $\frac{3xy}{x+y+1}>3x-1$, másrészt a nyilvánvalóan teljesülő $y<x+y+1$ egyenlőtlenség miatt $\frac{3xy}{x+y+1}<3x$. Így ilyenkor $\frac{3xy}{x+y+1}$ két szomszédos egész szám közé esik, tehát nem lehet egész.   Győrffy Ágoston (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.)