Feladat:	C.1497	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Selmi Bálint
Füzet:	2019/május, 283 - 284. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Egyenletrendszerek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/október: C.1497

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Jelölje az első egyenletet (1), a másodikat (2), a harmadikat pedig (3). A (3)-at az (1)-be beírva adódik, hogy $yz\cdot y=z$. Ha $z\ne 0$, akkor mindkét oldalt $z$-vel osztva ebből $y^2=1$ következik.   1. eset. $y=1$. Ekkor (1) alapján $x=z$, és így (2)-ből $x^2=1$. Ha $x=1$, akkor (1) miatt $z=1\cdot 1=1$. Ha $x=-1$, akkor szintén (1) alapján $z=-1\cdot 1=-1$.   2. eset. $y=-1$. Ekkor (1)-ből $-x=z$, és így (2) miatt $-x^2=-1$, vagyis $x^2=1$. Ha $x=1$, akkor (1) miatt $z=1\cdot -1=-1$. Ha pedig $x=-1$, akkor szintén (1) alapján $z=-1\cdot -1=1$. Végül, ha $z=0$, akkor (2) miatt $y=0$, (3) miatt pedig $x=0$.   A megoldások tehát:  ${\displaystyle \begin{array}{|cccccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math> }}& \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math> }}& \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></math> }}& \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math> }}& \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></math> }}& \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn></math> }}\\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi></math> }}& \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math> }}& \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math> }}& \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></math> }}& \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></math> }}& \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn></math>}}\\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>z</mi></math> }}& \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math> }}& \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></math> }}& \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></math> }}& \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn></math> }}& \hfill {\displaystyle \text{ 0}}\\ \hline\end{array}}$   Selmi Bálint (Pécsi Leőwey Klára Gimn., 10. évf.)     II. megoldás. Könnyen látható, hogy ha $x$, $y$, $z$ megoldás, akkor $|x|$, $|y|$, $|z|$ is megoldás. Az is világos, hogy ha valamelyik ismeretlen értéke 0, akkor a többié is; pl. $x=0$ esetén $y=xz=0=xy=z$. A pozitív megoldásokat keresve szorozzuk össze a három egyenletet; kapjuk, hogy $\left(xy\right)\left(xz\right)\left(yz\right)=zyx$, azaz ${\left(xyz\right)}^2=xyz$, ezért ilyenkor $xyz=1$. Az általánosság sérelme nélkül feltehetjük, hogy $x\ge y\ge z$. Ekkor viszont $x\ge 1\ge z$ miatt $x=yz\le y$, így $x=y$. Hasonlóan $z=xy\ge y$ szerint $y=z$, tehát $x=y=z=1$ az egyetlen pozitív megoldás. A többi nemnulla megoldás ettől előjelekben különbözhet csak, mégpedig úgy, hogy az egyik ismeretlen 1, a másik kettő pedig $-1$.   Megjegyzések. 1. Többen ‐ a netes megoldáshoz hasonlóan ‐ a három egyenletet összeszorozták, és az így kapott ${\left(xyz\right)}^2=xyz$ egyenletből jutottak eredményre. Sokan pedig a szimmetriát kihasználva az $x=\pm 1$, $y=\pm 1$ és $z=\pm 1$ lehetőségeket vizsgálták, az eseteket leszűkítve annak segítségével, hogy csak páros darab negatív szám lehet a változók között.   2. Nagyon sokan úgy osztottak valamelyik változóval, hogy nem kötötték ki, hogy az nem lehet $0$. Közülük legtöbben így nem kapták meg az $x=y=z=0$ megoldást, sokan pedig csak úgy odaírták, hogy az is megoldás. Többen csak egész számokra oldották meg a feladatot, holott ez nem volt benne a feladat szövegében.