Kezdőlap


Feladat:	B.4983	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Major Botond
Füzet:	2019/április, 224 - 225. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Irracionális egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/november: B.4983

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először vizsgáljuk meg, hogy a gyökjel alatt álló tört milyen valós $x$ -ekre lesz nagyobb vagy egyenlő, mint 0. Ez csak akkor lehet, ha mindkettő pozitív vagy negatív (a számláló lehet 0 is, a nevező viszont nem).
A számláló és a nevező is szorzattá alakítható:

\begin{matrix} x^{2} + 2 x - 3 & = (x - 1) (x + 3), \\ x^{2} - 2 x - 3 & = (x + 1) (x - 3) . \end{matrix}

Ha az ezekből adódó függvényeket ábrázoljuk, látható, hogy a megoldások csak a

(- \infty; - 3]

, a

(- 1; 1]

, illetve a

(3; \infty)

intervallumokból kerülhetnek ki. Induláskor megengedhetjük, hogy a számláló

0

legyen, de mivel ekkor az egyenlet jobb oldala nem 0, ezért sem az

x = - 3

, sem az

x = 1

nem gyöke az egyenletnek.
Ezek után szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát

(x^{2} - 2 x - 3)

-mal.
Két eset lehetséges: ha negatív, illetve ha pozitív számmal szoroztunk. Vizsgáljuk részletesen először azt az esetet, amikor

x^{2} - 2 x - 3

pozitív. Ekkor tudjuk, hogy

x > 3

, vagy

x < - 1

. Beszorzás és rendezés után azt kapjuk, hogy:

\begin{matrix} (x^{2} + 2 x - 3) (x^{2} - 2 x - 3) - \sqrt[]{(x^{2} + 2 x - 3) (x^{2} - 2 x - 3)} - 2 = 0. \end{matrix}

Legyen

a = \sqrt[]{(x^{2} + 2 x - 3) (x^{2} - 2 x - 3)}

. Így az egyenlet a következő lesz:

\begin{matrix} a^{2} - a - 2 = 0. \end{matrix}

Ennek gyökei:

a_{1} = 2

és

a_{2} = - 1

. A második gyök nem megfelelő, hiszen a gyökös kifejezés csak pozitív lehet. Ebből az következik, hogy

a^{2} = 4

. Tehát a megoldandó egyenlet a következő lesz:

\begin{matrix} (x^{2} + 2 x - 3) (x^{2} - 2 x - 3) = 4. \end{matrix}

Ha kibontjuk és 0-ra rendezzük az egyenletet azt kapjuk, hogy:

\begin{matrix} x^{4} - 10 x^{2} + 5 = 0. \end{matrix}

x^{2}

-re másodfokú:

\begin{matrix} x_{1,2}^{2} = 5 + 2 \sqrt[]{5} és x_{3,4}^{2} = 5 - 2 \sqrt[]{5} . \end{matrix}

Ezekből négy gyököt kapunk:

\begin{matrix} x_{1} = \sqrt[]{5 + 2 \sqrt[]{5}}, x_{2} = - \sqrt[]{5 + 2 \sqrt[]{5}}, x_{3} = \sqrt[]{5 - 2 \sqrt[]{5}}, x_{4} = - \sqrt[]{5 - 2 \sqrt[]{5}} . \end{matrix}

Közülük azonban csak kettő esik megfelelő intervallumba, így csak az

x_{1} = \sqrt[]{5 + 2 \sqrt[]{5}}

és az

x_{2} = - \sqrt[]{5 + 2 \sqrt[]{5}}

megoldásai az eredeti egyenletnek.
Most nézzük meg, mi történik akkor, ha a nevező, amivel szorzunk negatív. Mivel a gyökjel alatt pozitív szám (vagy 0) lehet, ezért az

x^{2} + 2 x - 3

is negatív. Ekkor az egyenlet úgy néz ki, hogy

(- 1)

-et kiemelve tudjuk az

(x^{2} - 2 x - 3)

-at a gyökjel alá vinni:

\begin{matrix} (x^{2} + 2 x - 3) (x^{2} - 2 x - 3) + \sqrt[]{(x^{2} + 2 x - 3) (x^{2} - 2 x - 3)} - 2 = 0. \end{matrix}

Így a gyökjel alatt két negatív szám szorzata áll, ami adhat újabb megoldásokat. Ismét új ismeretlent bevezetve: legyen

b = \sqrt[]{(x^{2} + 2 x - 3) (x^{2} - 2 x - 3)}

. A kapott egyenlet most

\begin{matrix} b^{2} + b - 2 = 0. \end{matrix}

Ennek pozitív megoldása csak

b = 1

b = - 2

értéket nem veheti fel a gyökös kifejezés). A megoldandó egyenlet az lesz, hogy:

\begin{matrix} x^{4} - 10 x^{2} + 8 = 0. \end{matrix}

Ezt

x^{2}

-re megoldva kapjuk, hogy:

\begin{matrix} x_{1}^{2} = 5 + \sqrt[]{17} és x_{2}^{2} = 5 - \sqrt[]{17} . \end{matrix}

Ebből azt a 4 gyököt kapjuk, hogy:

\begin{matrix} x_{1} = \sqrt[]{5 + \sqrt[]{17}}, x_{2} = - \sqrt[]{5 + \sqrt[]{17}}, x_{3} = \sqrt[]{5 - \sqrt[]{17}}, x_{4} = - \sqrt[]{5 - \sqrt[]{17}} . \end{matrix}

Ezek közül csak kettő esik megfelelő intervallumba, az

x_{3} = \sqrt[]{5 - \sqrt[]{17}}

és az

x_{4} = - \sqrt[]{5 - \sqrt[]{17}}

.
Tehát az eredeti egyenletnek összesen

4

gyöke van:

\begin{matrix} x_{1} = \sqrt[]{5 + 2 \sqrt[]{5}}, x_{2} = - \sqrt[]{5 + 2 \sqrt[]{5}}, x_{3} = \sqrt[]{5 - \sqrt[]{17}}, x_{4} = - \sqrt[]{5 - \sqrt[]{17}} . \end{matrix}

Major Botond (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.)
dolgozata alapján

Megjegyzés. A leggyakrabban előforduló hiba a dolgozatokban és általában is az, hogy azt a két megoldást is adó esetet figyelmen kívül hagyják, amikor mindkét másodfokú kifejezés negatív értéket vesz fel.