Feladat:	B.4970	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Csertán András ,  Márton Dénes
Füzet:	2019/április, 221 - 222. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Pont körre vonatkozó hatványa, Mértani középtételek derékszögű háromszögekben
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/szeptember: B.4970

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Legyen az $A$ pont merőleges vetülete az $e$ egyenesre $T$. Mivel $PAQ$ egy derékszögű háromszög, a $PAT$ és $AQT$ háromszögek hasonlóak, tehát $\frac{PT}{TA}=\frac{AT}{TQ}$, amiből $PT\cdot TQ=A{T}^2$ (1. ábra). Mivel a $T$ pont helyzete változatlan, így $A{T}^2$ állandó $P$ és $Q$ bármely választása esetén, ezért a $T$ pont $BPQ$ körökre vonatkozó hatványa is állandó. Vegyünk két tetszőleges $BPQ$ és $BP\text{'}Q\text{'}$, a feltételeknek megfelelő kört és legyen ezek $B$-től különböző metszéspontja $X$. Az $XB$ egyenes átmegy a $T$ ponton, mert az $XB$ egyenes a két kör hatványvonala, és $T$ hatványa a két körre megegyezik. Tegyük fel, hogy van olyan, a feltételeknek megfelelő $B{P}^{*}{Q}^{*}$ kör, amely a $BPQ$ kört egy $X$-től különböző $X\text{'}$ pontban metszi. Ennek az új körnek és a $BPQ$ körnek a hatványvonala az $X\text{'}B$ egyenes.   1. ábra   2. ábra Azonban ez ellentmondás, mert $X$ és $X\text{'}$ a $BPQ$ kör különböző pontjai, így $T\notin X\text{'}B$, és ezzel $T$ hatványa a két körre nem lehetne egyenlő, pedig egyenlő kell, hogy legyen. Így $X\text{'}$ egybeesik az $X$ ponttal. Tehát mindegyik kör átmegy az $X$ ponton.    Márton Dénes (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 12. évf.)  dolgozata alapján.     II. megoldás. Invertáljuk az $e$ egyenest és a $B$ pontot az $A$ középpontú, $AB$ sugarú körre. Ekkor $B$ képe önmaga, $e$ képe pedig egy, az $A$ ponton átmenő kör lesz (2. ábra). Legyen ennek a körnek a középpontja $O$. Az inverzió szögtartó tulajdonsága miatt és $PAQ\sphericalangle ={90}^{\circ }$ következtében $P\text{'}AQ\text{'}\sphericalangle ={90}^{\circ }$, így a Thalész-tétel megfordítását felhasználva tudjuk, hogy $P\text{'}$ és $Q\text{'}$ az $e\text{'}$ kör egy átmérőjének két végpontja. A $B\text{'}$, $P\text{'}$, $Q\text{'}$ pontokra illeszkedő kör messe az $B\text{'}O$ egyenest $S$-ben. Ebben a körben a szelőtétel miatt $OP\text{'}*OQ\text{'}=OB\text{'}*OS$, ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle OS=\frac{OP\text{'}*OQ\text{'}}{OB\text{'}}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel az $e\text{'}$ körben $P\text{'}$ és $Q\text{'}$ egy átmérő két végpontja, ezért $OP\text{'}$ és $OQ\text{'}$ független a $P$ és $Q$ pontok választásától, továbbá $OB\text{'}$ is független a $P$ és $Q$ pontok választásától, azaz $OS$ is független a $P$ és $Q$ pontok választásától. Ezzel beláttuk, hogy a $B\text{'}$, $P\text{'}$ és $Q\text{'}$ pontokra illeszkedő kör a $P$ és $Q$ pontok választásától függetlenül áthalad $S$-en, továbbá még egyszer invertálva: a $B$, $P$ és $Q$ pontokra illeszkedő kör a $P$ és $Q$ pontok választásától függetlenül áthalad $S$ inverz képén.    Csertán András (Nagykanizsa, Batthyány Lajos Gimn., 12. évf.)  dolgozata alapján