Kezdőlap


Feladat:	C.1489	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ajtai Boglárka
Füzet:	2019/április, 218 - 219. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Feltételes valószínűség, események, Sakk
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/május: C.1489

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A futó ugyanakkora valószínűséggel lép balra felfelé, mint jobbra felfelé, ha mindkét irányba léphet egy mezőről. Vannak azonban olyan mezők, ahonnan csak az egyik irányba mehet.
Nézzük először a sötét futót. Annak a valószínűsége, hogy a bal alsó mezőn járt, 1, hiszen onnan indul. Innen csak egy irányban haladhat tovább: a 2. sor 2. mezőjére, ezért annak a valószínűsége is 1, hogy a 2. sor 2. mezőjén járt:

\begin{matrix} p_{(1,1)} = p_{(2,2)} = 1. \end{matrix}

Innen két irányba mehet, mindkettőbe

\frac{1}{2}

valószínűséggel:

\begin{matrix} p_{(3,1)} = p_{(3,3)} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

A 3. sor 1. mezőjéről biztosan a 4. sor 2. mezőjére megy, ahová még ezen kívül a 3. sor 3. mezőjéről is léphet. Ezért ennek a valószínűsége

\begin{matrix} p_{(4,2)} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}, \end{matrix}

a 4. sor 4. helyének pedig

\begin{matrix} p_{(4,4)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} . \end{matrix}

Hasonlóan számolható a többi valószínűség is:

\begin{matrix} p_{(5,1)} & = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{8}, & p_{(5,3)} & = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{8}, \\ p_{(5,5)} & = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}; & p_{(6,2)} & = \frac{3}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{8} = \frac{10}{16}, \\ p_{(6,4)} & = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{5}{16}, & p_{(6,6)} & = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{16}; \\ p_{(7,1)} & = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{16} = \frac{10}{32}, & p_{(7,3)} & = \frac{1}{2} \cdot \frac{10}{16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{16} = \frac{15}{32}, \\ p_{(7,5)} & = \frac{1}{2} \cdot \frac{5}{16} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} = \frac{6}{32}, & p_{(7,7)} & = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{32}; \\ p_{(8,2)} & = \frac{10}{32} + \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{32} = \frac{35}{64}, & p_{(8,4)} & = \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{32} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{32} = \frac{21}{64}, \\ p_{(8,6)} & = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{32} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{32} = \frac{7}{64}, & p_{(8,8)} & = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{32} = \frac{1}{64} . \end{matrix}

Látható, hogy minden sorban a sötét mezőkre lépés valószínűségének összege 1.
Szimmetria miatt a világos futó utolsó sorba eső valószínűségeit könnyű megadni.
Ha a sötét futó a 8. mezőn van, akkor a világos bárhol lehet, mindig tőle balra lesz. Ennek a valószínűsége

\begin{matrix} \frac{1}{64} \cdot 1 = \frac{1}{64} . \end{matrix}

Ha a sötét futó a 6. mezőn van, akkor a világos az 1., 3., vagy 5. mezőn lehet, így ennek a valószínűsége

\begin{matrix} \frac{7}{64} \cdot (\frac{1}{64} + \frac{7}{64} + \frac{21}{64}) = \frac{203}{64^{2}} . \end{matrix}

Ha a sötét futó a 4. mezőn van, akkor a világos az 1., vagy a 3. mezőn lehet, így ennek a valószínűsége

\begin{matrix} \frac{21}{64} \cdot (\frac{7}{64} + \frac{1}{64}) = \frac{168}{64^{2}} . \end{matrix}

Végül, ha a sötét futó a 2. mezőn van, akkor a világos csak az 1. mezőn lehet, ennek a valószínűsége pedig

\frac{35}{64} \cdot \frac{1}{64} = \frac{35}{64^{2}}

.
Tehát

\begin{matrix} \frac{1}{64} + \frac{203}{64^{2}} + \frac{168}{64^{2}} + \frac{35}{64^{2}} = \frac{470}{64^{2}} \approx 0, 115 \end{matrix}

annak a valószínűsége, hogy a sötét futó a világostól jobbra érkezik.

Ajtai Boglárka (Miskolc, Földes Ferenc Gimn., 11. évf.)

Megjegyzés. Nagyon sokan kiszámították, hogy az egyes futók hány különböző útvonalon juthatnak el a sakktábla legfelső sorának egyes mezőire, majd ezt osztották az összes lehetséges eljutás útvonalainak számával, és így jutottak az egyes mezőkre vett eljutási valószínűségekhez. Azonban a feladat szövege szerint a futók nem az útvonalak közül választhattak véletlenszerűen, hanem minden egyes lépésben aközött, hogy jobbra fel vagy balra fel lépjenek (amennyiben ez nem jelentette a sakktábláról való lelépésüket). A sakktábla szélén csak egyféle lépés volt lehetséges 1 valószínűséggel, ami azt eredményezte, hogy az egyes útvonalak nem azonos valószínűséggel következtek be. Így ez a megoldás hibás.