Kezdőlap


Feladat:	5088. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Marozsák Tádé
Füzet:	2019/április, 246 - 247. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb matematikai inga
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/december: 5088. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a körpályáról való letérés pillanatában a test sebessége $u$ , a fonálnak a vízszintessel bezárt szöge pedig $α$ (lásd az ábrát).
A körpályáról letérésnek pillanatában a fonálerő nulla, tehát a test fonálirányú gyorsulását a nehézségi erő fonálirányú komponense biztosítja:

\begin{matrix} m g sin α + 0 = m \frac{u^{2}}{r}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} u^{2} = r g sin α . \end{matrix}

(1)

A test további pályája a ferde hajításnak megfelelő parabola, amely áthalad a fonalat megakasztó szög pontján.

\begin{matrix} u t sin α & = r cos α, \\ \frac{g}{2} t^{2} - u t cos α & = r sin α . \end{matrix}

Az idő kiküszöbölése után kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{r^{2} g}{2 u^{2}} \frac{cos^{2} α}{sin^{2} α} - r \frac{cos^{2} α}{sin α} = r sin α, vagyis \frac{r g}{2 u^{2}} = \frac{sin α}{cos^{2} α}, \end{matrix}

majd ebből (1) felhasználásával

\begin{matrix} tg α = \frac{1}{\sqrt[]{2}}, tehát α = 35, 26^{\circ}, \end{matrix}

valamint

\begin{matrix} u^{2} = r g sin α = \frac{r g}{\sqrt[]{3}} \end{matrix}

(2)

adódik.
Az energiamegmaradás szerint

\begin{matrix} \frac{1}{2} m u^{2} = m g (ℓ - r - r sin α), \end{matrix}

ahonnan (2)-t is felhasználva kapjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{1}{2} \frac{r g}{\sqrt[]{3}} = g (ℓ - r - \frac{r}{\sqrt[]{3}}) . \end{matrix}

Innen a keresett arány:

\begin{matrix} \frac{r}{ℓ} = 2 (2 - \sqrt[]{3}) \approx 0, 54. \end{matrix}

Marozsák Tádé (Budapest, Óbudai Árpád Gimn., 11. évf.)
dolgozata alapján