Feladat: 5069. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Horváth Ádám ,  Jánosik Áron 
Füzet: 2019/április, 243 - 244. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Merev test egyensúlya
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2018/november: 5069. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A geometriai adatokból következik, hogy a hengerek tengelye ugyanolyan magasságban van. Mindkét test nyugalomban van, tehát a rájuk ható erők eredője és ezen erők eredő forgatónyomatéka a két hengerre külön-külön nulla. A vektorok összege akkor lehet nulla, ha a vízszintes és a függőleges vektorkomponensek előjeles összege külön-külön nulla.
Mielőtt felírnánk ezeket az összefüggéseket, a következő megállapításokat tehetjük:
‐ A két henger között ható erő vízszintes (az érintősíkjukra merőleges), hiszen a hengerek közötti súrlódás elhanyagolható.
‐ A kis henger és a lejtő között nem hat súrlódási erő, még akkor sem, ha a felületük nem csúszós. Ha ugyanis fellépne ilyen erő, akkor annak lenne forgatónyomatéka a kis henger szimmetriatengelyére, míg a másik két erő (a nehézségi erő és a nagy henger által kifejtett erő) hatásvonala átmegy a szimmetriatengelyen, tehát a forgatónyomatékuk nulla.
‐ A nagy hengerre ható erők közül csak a lejtő által kifejtett (a lejtő esésvonalával párhuzamos) súrlódási erőnek és a kötél által kifejtett (vízszintes irányú) kényszererőnek van (a henger szmmetriatengelyére vonatkoztatott) forgatónyomatéka. Mivel az erőkarok egyenlő (R) hosszúságúak, a két erő nagysága is ugyanakkora.

 
 
 
Vegyük fel a hengerekre ható erőket ‐ a fentiek figyelembevételével ‐ az ábrán látható módon!
A kis hengerre ható három erő zárt vektorháromszöget alkot, emiatt
K=mgtg30=mg3.(1)
A nagy hengerre ható vízszintes erőkomponensek egyensúlyából
S(1+cos30)-K-N1sin30=0,
vagyis (1)-et is felhasználva
S(1+32)-12N1=13mg.(2)
Végül a függőleges erők egyensúlyának feltétele:
12S+32N1=3mg.(3)
A (2) és (3) egyenletrendszer megoldása:
N1=(4-23)mg2,85mg,S=42+3mg1,07mg.
(Látható, hogy a nagy henger valóban nem emelkedik fel a lejtőről, hiszen N1>0.)
A nagy henger nem csúszik meg a lejtőn, ha SμN1, vagyis a tapadó súrlódási együttható
μSN1=43(2+3)(43-2)=18-83110,38.

 
 Horváth Ádám (Zalaegerszegi Zrínyi M. Gimn., 10. évf.) és
 Jánosik Áron (Győr, Révai Miklós Gimn., 11. évf.)
 dolgozata alapján