Kezdőlap


Feladat:	5058. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Mácsai Dániel
Füzet:	2019/április, 240 - 242. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Görbevonalú mozgás lejtőn, Csúszó súrlódás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/október: 5058. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A csavarvonal alakú pályán lecsúszó bob sebessége fokozatosan növekszik, emiatt egyre nagyobb lesz a járművet a pályához szorító ,,nyomóerő'', és ezzel arányosan növekszik a súrlódási erő is. Az állandósult (maximális) sebességnek megfelelő állapotban (amit a bob természetesen nem ér el, csak megközelíti azt) a súrlódási erő megegyezik a nehézségi erő érintő irányú komponensével, a ,,mozgatóerővel''.
Jelöljük a csavarvonal érintőjének a vízszintes síkkal bezárt szögét $α$ -val!

1. ábra

Mivel a csavarvonal vízszintes vetületének sugara

r = d / 2

, a görbe meredeksége:

\begin{matrix} tg α = \frac{h}{2 r π}, ebből α = 2, 73^{\circ} . \end{matrix}

(1)

A mozgatóerő (ha a bob és az utasának együttes tömege

m

) az

m g

nagyságú nehézségi erőnek a mozgás irányába eső összetevője

\begin{matrix} G_{1} = m g sin α, \end{matrix}

(2)

a pálya érintőjére merőleges komponense pedig

\begin{matrix} G_{2} = m g cos α . \end{matrix}

(3)

Jelöljük a jégpálya által a bobra kifejtett nyomóerőt

N

-nel, aminek a pálya érintősíkjába eső, de az érintőre merőleges komponense

N_{1}

, az erre merőleges (a csavarvonal függőleges tengelye felé mutató) összetevője pedig

N_{2}

. A súrlódási erő:

\begin{matrix} S = μ | N | = μ \sqrt[]{N_{1}^{2} + N_{2}^{2}} . \end{matrix}

(4)

Megjegyzés. Feltételezzük, hogy a jéghegyben az alagút kör keresztmetszetű, így a kanyarodó bob a szabadtéri pályákhoz hasonlóan ,,be tud állni'' a pálya megfelelő részébe.

2. ábra

A mozgásegyenletek (a 2. ábrán látható irányokban):

\begin{matrix} G_{1} - S = 0, & (5) \\ G_{2} - N_{1} = 0, & (6) \\ N_{2} = \frac{m {(v_{max} cos α)}^{2}}{r} . & (7) \end{matrix}

Felírhatjuk még a munkatételt a vízszintes pályaszakaszon történő fékeződésre:

\begin{matrix} μ m g \cdot s = \frac{1}{2} m v_{max}^{2} . \end{matrix}

(8)

Az (1)‐(8) összefüggésekből algebrai átalakítások után

μ

-re a következő (hiányos) negyedfokú egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} 16 \frac{s^{2} cos^{4} α}{d^{2}} μ^{4} + μ^{2} cos^{2} α - sin^{2} α = 0, \end{matrix}

ami

x = μ^{2}

-re nézve másodfokú. Az adatok behelyettesítése után ezt kapjuk:

\begin{matrix} 11 611, 14 x^{2} + 0, 997 7 x - 0, 002 27 = 0. \end{matrix}

Ennek pozitív gyöke:

x = 4 \cdot 10^{- 4}

, ahonnan a csúszási súrlódási együttható

μ = 0, 02

. A bobok legnagyobb sebessége (8)-ból számolható:

\begin{matrix} v_{max} = \sqrt[]{2 μ g s} = 10, 4 \frac{m}{s} \approx 37 \frac{km}{h} . \end{matrix}

Mácsai Dániel (Keszthelyi Vajda J. Gimn. 10. évf.)
dolgozata alapján