Kezdőlap


Feladat:	5079. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Jánosik Máté
Füzet:	2019/március, 181 - 182. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Tökéletesen rugalmatlan ütközések
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/december: 5079. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $v$ a mozgó gyurmagolyók sebessége közvetlenül az ütközések előtt, $v_{n}$ az $n$ -edik golyó sebessége, amikor elindul, $m$ a golyók tömege, $a$ pedig a golyók gyorsulása. Az ütközések tökéletesen rugalmatlanok, így

\begin{matrix} v_{n} = \frac{(n - 1) m v + 0}{n m} = \frac{n - 1}{n} v . \end{matrix}

Az első golyó gyakorlatilag nulla sebességről gyorsul

v

sebességre

t_{1}

idő alatt, így a megtett útja

\begin{matrix} L_{1} = \frac{0 + v}{2} t_{1} = \frac{v}{2} \cdot \frac{v - 0}{a} = \frac{v^{2}}{2 a} . \end{matrix}

(Kihasználtuk, hogy az egyenletesen változó mozgásnál az átlagsebesség a kezdeti és a végsebesség számtani közepe, és a gyorsulást a végsebesség és a kezdősebesség különbsége határozza meg.)
Az

n

-edik golyó

v_{n}

sebességről gyorsul

v

sebességre

\begin{matrix} t_{n} = \frac{Δ v}{a} = \frac{v - v_{n}}{a} = \frac{v}{n a} \end{matrix}

idő alatt. Ebből

\begin{matrix} L_{n} = \frac{v_{n} + v}{2} t_{n} = \frac{\frac{n - 1}{n} v + v}{2} \cdot \frac{v}{n a} = \frac{(2 n - 1)}{n^{2}} \frac{v^{2}}{2 a} = \frac{2 n - 1}{n^{2}} L_{1} . \end{matrix}

Jánosik Máté (Győr, Révai Miklós Gimn., 9. évf.)

Megjegyzések. 1. Érdekes, hogy az eredmény nem függ a lejtő hajlásszögétől, a gyurmagolyók tömegétől, de még a súrlódási együtthatótól sem.
2. A gyurmagolyók az ütközések előtt nyugalomban vannak, ami akkor teljesül, ha

μ_{tapadási} > tg α

(

α

a lejtő hajlásszöge). Másrészt a meglökött gyurmagolyók

a > 0

gyorsulással mozognak a lejtőn, hiszen a sebességük növekszik. Ez akkor teljesül, ha

μ_{csúszási} < tg α

. Mindkét feltétel teljesülhet, hiszen általában fennáll, hogy

μ_{csúszási} < μ_{tapadási}