Feladat:	B.4994	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csiszár Zoltán ,  Hámori Janka
Füzet:	2019/március, 158 - 159. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/december: B.4994

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Jelölje a harmadfokú polinomot $p\left(x\right)$, aminek a pozitív gyökei $a$, $b$ és $c$. Ekkor $p\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)=x^3-\left(a+b+c\right)x^2+\left(ab+bc+ca\right)x-abc$, így $A=-\left(a+b+c\right)$, $B=\left(ab+bc+ca\right)$, $C=-abc$, ezért a bizonyítandó egyenlőtlenség $A^2+B^2+18C={\left(a+b+c\right)}^2+{\left(ab+bc+ca\right)}^2-18abc>0$. Adjunk hozzá mindkét oldalhoz $18abc$-t, és hajtsuk végre a bal oldalon kijelölt műveleteket. Így a bizonyítandóval ekvivalens ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle a^2+b^2+c^2+ab+ab+bc+bc+ca+ca+a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2+a^{2}bc+a^{2}bc+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle +a{b}^{2}c+a{b}^{2}c+ab{c}^2+ab{c}^2>18abc}\hfill \end{array}}$ egyenlőtlenséget kapjuk, ami a 18 változós számtani-mértani közép közötti egyenlőtlenség miatt igaz (hiszen a gyökök pozitívak), és a bal oldal szigorúan nagyobb, hiszen a gyökök nem esnek egybe a feltétel alapján.    Csiszár Zoltán (Szeged, Radnóti M. Kísérleti Gimn., 11. évf.)     II. megoldás. A bizonyítandó ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle S=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca+a^2{b}^2+b^2{c}^2+c^2{a}^2+2a^{2}bc+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle +2a{b}^{2}c+2ab{c}^2-18abc>0}\hfill \end{array}}$ egyenlőtlenség bal oldala a következőképpen alakítható: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle S}& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle \left(a^2-2abc+b^2{c}^2\right)+\left(b^2-2abc+a^2{c}^2\right)+\left(c^2-2abc+a^2{b}^2\right)+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle +2ab\left(c^2-2c+1\right)+2ac\left(b^2-2b+1\right)+2bc\left(a^2-2a+1\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =}\hfill & {\displaystyle {\left(a-bc\right)}^2+{\left(b-ac\right)}^2+{\left(c-ab\right)}^2+2ab{\left(c-1\right)}^2+2ac{\left(b-1\right)}^2+2bc{\left(a-1\right)}^2\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ ami nyilván pozitív.    Hámori Janka (Szeged, Radnóti M. Kísérleti Gimn., 10. évf.)