Kezdőlap


Feladat:	B.4964	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Dobák Dániel , Döbröntei Dávid Bence , Gáspár Attila , Kerekes Anna , Nagy Nándor , Pituk Gábor , Schifferer András , Schrettner Jakab , Weisz Máté
Füzet:	2019/március, 152 - 153. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Különleges függvények, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/május: B.4964

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nem igaz az állítás.
Fel fogjuk használni azt a könnyen belátható állítást, miszerint ha egy $x$ valós szám felírható $q_{1} + q_{2} \sqrt[]{2}$ , vagy $q_{1} \sqrt[]{2} + q_{2} \sqrt[]{3}$ , vagy $q_{1} \sqrt[]{3} + q_{2}$ alakban, ahol $q_{1}, q_{2} \in Q$ ( $Q$ a racionális számok halmazát jelöli), akkor ez a felírás egyértelmű. Például, ha $q_{1} \sqrt[]{2} + q_{2} \sqrt[]{3} = r_{1} \sqrt[]{2} + r_{2} \sqrt[]{3}$ (ahol $q_{i}, r_{j} \in Q$ ), akkor $(q_{1} - r_{1}) \sqrt[]{2} = (r_{2} - q_{2}) \sqrt[]{3}$ . Itt $q_{1} - r_{1}$ pontosan akkor nulla, ha $r_{2} - q_{2}$ az. Ha $r_{2} - q_{2} \neq 0$ , akkor $\frac{q_{1} - r_{1}}{r_{2} - q_{2}} = \sqrt[]{\frac{3}{2}}$ , ami ellentmondás.
A valós számok tetszőleges $H$ részhalmazára jelölje $C (H)$ a következő függvényt:

\begin{matrix} C (H) (x) = {\begin{matrix} \frac{1}{7}, & ha x \in H; \\ 0, & egyébként. \end{matrix} \end{matrix}

α

valós számra legyen

\begin{matrix} H α = {h α ∣ h \in H}, \end{matrix}

továbbá a

H_{1}

és

H_{2}

halmazok összegét jelölje

\begin{matrix} H_{1} + H_{2} = {h_{1} + h_{2} ∣ h_{j} \in H_{j} (j = 1,2)} . \end{matrix}

Legyen ezután

\begin{matrix} f = C (Q + Q \sqrt[]{2}) + C (Q \sqrt[]{2} + Q \sqrt[]{3}) \end{matrix}

és

\begin{matrix} g = 3 C (Q \sqrt[]{3} + Q) - C (Q + Q \sqrt[]{2}) + \frac{2}{7} . \end{matrix}

Ekkor

\begin{matrix} h = f + g = C (Q \sqrt[]{2} + Q \sqrt[]{3}) + 3 C (Q \sqrt[]{3} + Q) + \frac{2}{7} . \end{matrix}

Könnyen látható, hogy minden

q \sqrt[]{2}

(

q \in Q ∖ {0}

) periódusa

f

-nek. Továbbá

f

pontosan a

Q \sqrt[]{2}

halmaz elemeinél (a két halmaz metszetén) vesz fel

\frac{2}{7}

függvényértéket, azaz minden

p

periódusra és

q \in Q

számra mivel

f (q \sqrt[]{2} + p) = f (q \sqrt[]{2}) = \frac{2}{7}

, így

q \sqrt[]{2} + p

-nek szintén

q' \sqrt[]{2}

(

q' \in Q

) alakúnak kell lennie, azaz szükségszerűen

p

is ilyen alakú. Vagyis

f

periódusainak halmaza

Q \sqrt[]{2} ∖ {0}

.
Hasonlóan látható

g

-nél ‐ a

\frac{4}{7}

függvényérték vizsgálatából ‐, hogy

g

periódusainak halmaza

Q ∖ {0}

h

-nál pedig a

\frac{6}{7}

függvényértékéből, hogy

h

periódusainak halmaza

Q \sqrt[]{3} ∖ {0}

.
Tehát

f

g

és

h

periodikus, ám

f

-nek és

g

-nek nincsen közös periódusa.

Pituk Gábor (Veszprém, Lovassy László Gimn., 11. évf.)