Egy szám osztóinak számát úgy határozzuk meg, hogy prímtényezős felbontásában a prímhatványok kitevőinél eggyel nagyobb számokat összeszorozzuk. A mi esetünkben ennek a szorzatnak prímszámnak kell lennie. Ha a prímtényezős felbontásban egynél több prímtényező szerepelne, akkor az osztók száma nem lenne prímszám; tehát mindkét szám prímhatvány.
Ebből következik, hogy ha az $N$ számnak $q$ darab osztója van, akkor a hatványkitevője $\left(q-1\right)$. Mivel $N$ prímtényezős felbontásában egy prím szerepel és $N$ osztható $p$-vel, így ez a prímszám a $p$. Tehát $N=p^{q-1}$. Hasonlóan kapjuk, hogy $M=q^{p-1}$.
Meg kell vizsgálnunk, hogy az $N+M=p^{q-1}+q^{p-1}$ összeg mikor lesz ötjegyű. Az egyenlet jobb oldalán $p$ és $q$ felcserélésével ugyanazt az eredményt kapjuk, így az egyszerűség kedvéért egyelőre tételezzük fel, hogy $p\le q$. Ha $p^{q-1}$ legalább hatjegyű, akkor a $p^{q-1}+q^{p-1}$ összeg is az. Mivel $2^{18}$, $3^{12}$, $5^{10}$, illetve $7^6$ legalább hatjegyű, ezért csak az alábbi 13 esetet kellett megvizsgálnunk (a táblázat belsejében a megfelelő $p^{q-1}+q^{p-1}$ értékek állnak).