Feladat:	C.1482	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Agócs Katinka ,  Ajtai Boglárka ,  Almási Adél Csilla ,  Bukor Benedek ,  Debreczeni Tibor ,  Jankovits András ,  Molnár István ,  Németh Csilla Márta ,  Nyitrai Boglárka ,  Spányik Teodor ,  Surján Anett ,  Szécsi Adél Lilla
Füzet:	2019/február, 85 - 87. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Trigonometrikus egyenlőtlenségek, C gyakorlat, Függvényvizsgálat differenciálszámítással
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/április: C.1482

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Belátjuk, hogy a függvény maximuma $\frac{3\sqrt[]{3}}{2}$. Ez kisebb, mint $\frac{3+2\sqrt[]{2}}{2}$, ugyanis a nevezők elhagyása után a számlálókat négyzetre emelve a bal oldal $27$, a jobb oldal $17+12\sqrt[]{2}$, ami legalább 29, lévén $\sqrt[]{2}$ nagyobb, mint 1. (A két szám kerekítve 2,60 és 2,91. ) A szinusz-függvény kétszeres szögekre vonatkozó szabálya szerint $\text{sin}\left(2x\right)=2\text{sin}x\text{cos}x$, tehát a bal oldalon az abszolútértéken belüli kifejezés így is felírható: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\text{sin}x+2\text{sin}x\text{cos}x=2\text{sin}x\left(\text{cos}x+1\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Mivel az eredeti egyenlőtlenségben mindkét oldal nemnegatív, a négyzetre emelés ekvivalens átalakítás: $\begin{array}{c}{\displaystyle 4\text{sin}{}^{2}x{\left(\text{cos}x+1\right)}^2\le {\left(\frac{3\sqrt[]{3}}{2}\right)}^2=\frac{27}{4}\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Mint ismeretes, minden $x$ valós szám esetén $\text{sin}{}^{2}x+\text{cos}{}^{2}x=1$. Tehát $\text{sin}{}^{2}x=1-\text{cos}{}^{2}x=\left(1-\text{cos}x\right)\left(1+\text{cos}x\right)$, amit (2) bal oldalába beírva (4-gyel való osztás után): ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \left(1-\text{cos}x\right)\left(1+\text{cos}x\right){\left(\text{cos}x+1\right)}^2}& {\displaystyle \le \frac{27}{16}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(1-\text{cos}x\right){\left(\text{cos}x+1\right)}^3}& {\displaystyle \le \frac{27}{16}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Mindkét oldalt 3-mal szorozva: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(3-3\text{cos}x\right){\left(\text{cos}x+1\right)}^3\le \frac{81}{16}\mathrm{.}}\end{array}$ (3) A bal oldali négytényezős szorzatban minden tényező nemnegatív, mert $\text{cos}x$ minimuma $-1$. Ezért felírható a számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenség négytényezős alakja: $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[4]{a_1{a}_2{a}_3{a}_4}\le \frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}\mathrm{,}}\end{array}$ amit negyedik hatványra emelve így is írhatunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_1{a}_2{a}_3{a}_4\le {\left(\frac{a_1+a_2+a_3+a_4}{4}\right)}^4\mathrm{.}}\end{array}$ Ha a négy tényezőnek a (3) bal oldalán szereplő dolgokat vesszük, akkor azok összege éppen 6, ugyanis a $-3\text{cos}x$ és a 3 darab $\text{cos}x$ kiejti egymást. A jobb oldalon ekkor ennek negyede, azaz $\frac{3}{2}$ szerepel a zárójelben, aminek a negyedik hatványa valóban $\frac{81}{16}$. Ezzel az állítást beláttuk, tehát egy erősebb felső korlátot adtunk a kifejezésnek. Egyenlőség lehet (3)-ban, mégpedig akkor, ha $3-3\text{cos}x=\text{cos}x+1$, azaz $\text{cos}x=\frac{1}{2}$. Ekkor visszaírva, az (1)-beli kifejezés értéke valóban $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\cdot \left(\pm \frac{\sqrt[]{3}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}+1\right)=\frac{\pm 3\sqrt[]{3}}{2}}\end{array}$ szerepel (attól függően, hogy a $\text{sin}x$ a $\pm \frac{\sqrt[]{3}}{2}$ közül melyik értéket veszi fel, de az abszolútérték miatt ez ugyanezt a szélsőértéket adja).   Nyitrai Boglárka (Brüsszel, European School, 11. évf.)     II. megoldás. Legyen $f\left(x\right)=2\text{sin}x+\text{sin}\left(2x\right)$. Ennek ott lehet szélsőértéke, ahol a deriváltja 0: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle f\text{'}\left(x\right)=2\text{cos}x+\text{cos}\left(2x\right)\cdot 2}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{cos}x+\text{cos}\left(2x\right)}& {\displaystyle =\mathrm{0,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{cos}\left(2x\right)}& {\displaystyle =-\text{cos}x\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{cos}\left(2x\right)}& {\displaystyle =\text{cos}\left(\pi -x\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Vagyis $2x=\pi -x+k\cdot 2\pi$ (ahol $k\in \text{Z}$), vagy pedig $2x=x-\pi +l\cdot 2\pi$ (ahol $l\in \text{Z}$). Az első esetben $x=\frac{\pi }{3}+k\cdot \frac{2\pi }{3}$, a másodikban pedig $x=-\pi +l\cdot 2\pi$. Ez utóbbi megoldáshalmazt tartalmazza az előbbi, így külön vizsgálni szükségtelen. Mivel a koszinusz függvény értékeit periodikusan veszi föl, periódusa pedig $\omega =2\pi$, így elég a $\left[0;2\pi \right)$ intervallumon táblázatot készíteni. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{|ccccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>∈</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mspace backround="\#000" height="12pt" depth="6pt"></mspace></mphantom></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">[</mo><mn>0</mn><mi>;</mi><mrow><mfrac><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">)</mo></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">{</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">}</mo></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac></mrow><mi>;</mi><mi>π</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo fence="true" stretchy="true">{</mo><mrow><mi>π</mi></mrow><mo fence="true" stretchy="true">}</mo></mrow></math> }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">+</mo></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn></math> }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo stretchy="false">'</mo><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>↗</mo></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ lokális maximum }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>↘</mo></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ inflexiós pont }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>∈</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mphantom><mspace backround="\#000" height="12pt" depth="6pt"></mspace></mphantom></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">(</mo><mi>π</mi><mi>;</mi><mrow><mfrac><mrow><mn>5</mn><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">)</mo></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mfrac><mrow><mn>5</mn><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac></mrow></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">(</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>5</mn><mi>π</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac></mrow><mi>;</mi><mn>2</mn><mi>π</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">-</mo></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">+</mo></math> }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>f</mi><mo stretchy="false">'</mo><mrow><mo fence="true" stretchy="true">(</mo><mrow><mi>x</mi></mrow><mo fence="true" stretchy="true">)</mo></mrow></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>↘</mo></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ lokális minimum }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>↗</mo></math> }}\hfill \\ \hline\end{array}}}\end{array}$ Tehát $f\left(x\right)$ maximális csak $(\frac{\pi }{3}+m\cdot 2\pi )$-nél, minimális csak $(\frac{5\pi }{3}+n\cdot 2\pi )$-nél lehet (ahol $m\mathrm{,}n\in \text{Z}$). ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle f\left(\frac{\pi }{3}+m\cdot 2\pi \right)}& {\displaystyle =f\left(\frac{\pi }{3}\right)=2\text{sin}\frac{\pi }{3}+\text{sin}\left(2\cdot \frac{\pi }{3}\right)=\frac{3\sqrt[]{3}}{2}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle f\left(\frac{5\pi }{3}+n\cdot 2\pi \right)}& {\displaystyle =f\left(\frac{5\pi }{3}\right)=2\text{sin}\frac{5\pi }{3}+\text{sin}\left(2\cdot \frac{5\pi }{3}\right)=-\frac{3\sqrt[]{3}}{2}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Mivel $\frac{3\sqrt[]{3}}{2}\approx 2\mathrm{,}598$ és $\frac{3+2\sqrt[]{2}}{2}\approx 2\mathrm{,}914$, így $|f\left(x\right)|\le \frac{3\sqrt[]{3}}{2}<\frac{3+2\sqrt[]{2}}{2}$, vagyis $\begin{array}{c}{\displaystyle |2\text{sin}x+\text{sin}\left(2x\right)|<\frac{3+2\sqrt[]{2}}{2}\mathrm{,}}\end{array}$ és pontosan ezt szerettük volna belátni.   Spányik Teodor (Budapest, Képző- és Iparművészeti Szakgimn. és Koll., 12. évf.)   Megjegyzések. 1. A leggyakoribb hiba az volt, hogy a megoldó feltette, hogy a bal oldali két tagú összeg akkor maximális, ha valamelyik tag maximális (azaz azt a két esetet vizsgálta meg, amikor $2\text{sin}x$ maximális vagy $\text{sin}\left(2x\right)$ maximális). 2. Sok helyen hiányzott a kiszámolt szélsőértékek és a jobb oldali szám értéke közötti egyenlőtlenség igazolása.