Feladat:	C.1462	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bérczi Péter ,  Német Franciska ,  Szalontai Kinga Sára
Füzet:	2019/február, 84 - 85. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Számtani sorozat, Nevezetes azonosságok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/február: C.1462

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 3\cdot 4^k}& {\displaystyle =3{\left(3+1\right)}^k=3\left(3^k+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{1}\right)3^{k-1}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}\right)3^{k-2}+\text{...}+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{k-1}\right)3^1+1\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =3\left(3n+1\right)=9n+3}\hfill \end{array}}$ (mivel a $3^k$, $3^{k-1}$, $3^{k-2}$, $\text{...}$, $3^1$ számok mindegyike osztható 3-mal, ezért az összeg is osztható 3-mal, így felírható $3n$ alakban, ahol $n$ természetes szám). A számtani sorozat elemei $a_m=3+9\left(m-1\right)$ alakúak. A sorozat tartalmaz minden olyan természetes számot, amely 9-cel osztva 3-at ad maradékul, tehát az összes $3\cdot 4^k$ alakú számot is, hiszen azok is 9-cel osztva 3 maradékot adnak.   Bérczi Péter (Szegedi Deák Ferenc Gimn., 9. évf.)   Megjegyzés. Több megoldó felismerte, hogy ($a_m$) minden tagja 9-cel osztva 3-at ad maradékul, és ebből következtetett arra, hogy ha $3\cdot 4^k$ is ilyen alakú minden $k$-ra, akkor kész az állítás bizonyítása. Ez így viszont nem igaz. A megállapítás akkor helyes, ha a megoldó azt veszi észre, hogy $a_m$ minden olyan pozitív egész számot tartalmaz, mely 9-cel osztva 3-at ad maradékul. Ebből már következik, hogy ha $3\cdot 4^k$ is ilyen alakú, akkor minden $k$-ra tagja a sorozatnak.     II. megoldás. $a_1=3$, $d=9$: a sorozat tagjai $3+9n$ alakúak, ahol $n$ természetes szám. Belátjuk, hogy minden $k$ esetén van megfelelő $n$. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 3\cdot 4^k}& {\displaystyle =3+9n\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 3\cdot 4^k}& {\displaystyle =3\left(3n+1\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 4^k}& {\displaystyle =3n+\mathrm{1,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 4^k-1}& {\displaystyle =3n\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left(2^k+1\right)\left(2^k-1\right)}& {\displaystyle =3n\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ha $k$ páratlan, akkor a $\left(2^k+1\right)$ tényezőből, ha pedig páros, akkor a $\left(2^k-1\right)=\left(2^{2m}-1\right)=\left(4^m-1\right)$ tényezőből emelhető ki a 3, tehát a két tényező szorzata mindig osztható 3-mal, és így bármely $k$ esetén van megfelelő $n$ természetes szám.   Német Franciska (Békásmegyeri Veres Péter Gimn., 10. évf.)     III. megoldás. A számtani sorozat első tagja $a_1=3$, differenciája $d=9$, általános tagja $a_n=3+\left(n-1\right)\cdot 9$. A sorozat első hat tagja: 3; 12; 21; 30; 39; 48. Teljes indukcióval bizonyítunk. Ha $k=0$, akkor $3\cdot 4^0=3$; ha $k=1$, akkor $3\cdot 4^1=12$, ha $k=2$, akkor $3\cdot 4^2=48$ ‐ vagyis ezekben az esetekben igaz az állítás. Most belátjuk, hogy ha $3\cdot 4^k$ tagja a sorozatnak, akkor $3\cdot 4^{k+1}$ is tagja. $\begin{array}{c}{\displaystyle 3\cdot 4^{k+1}-3\cdot 4^k=3\cdot 4^k\left(4-1\right)=3\cdot 4^k\cdot 3=9\cdot 4^k\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $3\cdot 4^{k+1}$ és $3\cdot 4^k$ különbsége 9 többszöröse, ezért ha $3\cdot 4^k$ tagja a fenti sorozatnak, akkor $3\cdot 4^{k+1}$ is tagja. Tehát minden $k$-ra teljesül, hogy $3\cdot 4^k$ tagja az $a_n=3+\left(n-1\right)\cdot 9$ sorozatnak.   Szalontai Kinga Sára (Budapest, Deák Téri Evangélikus Gimn., 10. évf.)