A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Ha , akkor az ábra szimmetrikus az -ból induló magasságra, amely egyben súlyvonal is. Ezért az és az pont is ezen a szimmetriatengelyen fekszik, így az állítás triviális. A továbbiakban feltesszük, hogy . Ekkor az -ból induló szögfelező nem merőleges a oldalra, tehát az -nek egy, a -re merőleges egyenesre vett tükörképe nem párhuzamos -vel. Legyen az háromszög beírt körének középpontja, és jelölje , és rendre az , , illetve pontoknak az egyenesre vett tükörképét. Láttuk, hogy és nem párhuzamosak, ezért egyértelműen létezik az és egyeneseknek egy metszéspontja. Legyen a -nek az -ra vett tükörképe, valamint jelölje a és metszéspontját (1. ábra).
1. ábra Ekkor a tükrözés miatt, illetve , hiszen és a beírt kör érintői. Ezek szerint , , , és egy körön vannak, konkrétan a Thálesz-körén. Ezen körnek és egyenlő hosszúságú húrjai (mivel mindkét szakasz a beírt körnek ugyanabból a külső pontból húzott érintője), tehát -ban ugyanakkora kerületi szögek tartoznak hozzájuk: ; az utóbbi egyenlőség a tükrözés miatt igaz. Ezek szerint illeszkedik a szakaszra. miatt és a tükrözésből adódóan. Alkalmas, -ból végzett középpontos hasonlóság tehát -t -be és -et a szakasz felezőpontjába viszi. Ez pedig azt jelenti, hogy rajta van az háromszög -ból induló súlyvonalán. Az pont tehát megegyezik a szakasznak és az háromszög -ból induló súlyvonalának metszéspontjával, -mel, ahonnan adódik. Nekünk pedig pontosan ezt kellett igazolunk.
Az alábbiakban közöljük Egri Máté rendkívül szellemes megoldásának vázlatát is.
II. megoldás. Jelölje az háromszög beírt körének -gyel átellenes pontját, és legyenek rendre és a beírt körhöz -ban húzott (és -vel párhuzamos) érintőnek az és oldalakkal vett metszéspontjai (2. ábra). 2. ábra Azt fogjuk megmutatni, hogy az pont egyrészt megegyezik és metszéspontjával, másrészt, hogy illeszkedik az szakaszra. A konstrukció folytán trapéz, így átlóinak metszéspontját a szárak metszéspontjával (azaz -val) összekötő egyenes felezi az alapokat. Ez azt jelenti, hogy és metszéspontja illeszkedik az -ból induló súlyvonalra. A továbbiakban a jól ismert Brianchon-tételre támaszkodunk, amely szerint egy érintőhatszög szemközti csúcsait összekötő három átló egy ponton halad át. A tételt abban az elfajuló esetben alkalmazzuk, amikor az érintőhatszög bizonyos csúcsai a hatszög beírt körén vannak. Ilyenformán az elfajuló érintőhatszög fenti tulajdonsága alapján tartalmazza és metszéspontját, amely ‐ mint láttuk ‐ az -ból induló súlyvonalon van. Tehát és valóban az pontban metszik egymást. Az érintőhatszögre pedig az adódik, hogy is tartalmazza -et. A feladat állítása innen közvetlenül adódik. |
|