Feladat:	C.1480	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Görcs András (Somorja) ,  Molnár István (Békéscsaba)
Füzet:	2019/január, 21 - 22. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Oszthatóság, Algebrai átalakítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/április: C.1480

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Feltételek: $x\ne \pm 2$, $x\in \text{Z}$. Mivel ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle x^3-7x+6}& {\displaystyle =x^3-4x-3x+6=x\left(x^2-4\right)-3\left(x-2\right)=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =x\left(x-2\right)\left(x+2\right)-3\left(x-2\right)=\left(x-2\right)\left(x^2+2x-3\right)\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ így az egyenlet bal oldalának számlálóját átírva: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\left(x-2\right)\left(x^2+2x-3\right)}{x-2}=\frac{2x+14}{x+2}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{2x+14}{x+2}=\frac{2x+4+10}{x+2}=2+\frac{10}{x+2}\mathrm{,}}\end{array}$ kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2+2x-3=2+\frac{10}{x+2}\mathrm{,}\text{ahonnan}{x}^2+2x-5=\frac{10}{x+2}\mathrm{.}}\end{array}$ Figyelembe véve, hogy $x\in \text{Z}\setminus \left\{\pm 2\right\}$, és így $x^2+2x-5\in \text{Z}$, ahonnan következik, hogy $\frac{10}{x+2}\in \text{Z}$ kell legyen, azaz $x+2$ a $10$ osztója. Tehát $x+2\in \left\{\pm 1;\pm 2;\pm 5;\pm 10\right\}$. Behelyettesítve látható, hogy egyik sem megoldás.   ${\displaystyle \begin{array}{|ccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">+</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">=</mo><mn>1</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">=</mo><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>1</mn><mo stretchy="false">-</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">-</mo><mn>5</mn><mo>≠</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></mfrac></mrow></math> }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">+</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">=</mo><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">=</mo><mo stretchy="false">-</mo><mn>3</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>9</mn><mo stretchy="false">-</mo><mn>6</mn><mo stretchy="false">-</mo><mn>5</mn><mo>≠</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mo stretchy="false">-</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></mrow></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">+</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">=</mo><mn>2</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>0</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo stretchy="false">-</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">-</mo><mn>5</mn><mo>≠</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></math>}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">+</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">=</mo><mo stretchy="false">-</mo><mn>2</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">=</mo><mo stretchy="false">-</mo><mn>4</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>16</mn><mo stretchy="false">-</mo><mn>8</mn><mo stretchy="false">-</mo><mn>5</mn><mo>≠</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mo stretchy="false">-</mo><mn>2</mn></mrow></mfrac></mrow></math> }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">+</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">=</mo><mn>5</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>3</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>9</mn><mo stretchy="false">+</mo><mn>6</mn><mo stretchy="false">-</mo><mn>5</mn><mo>≠</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></mfrac></mrow></math> }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">+</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">=</mo><mo stretchy="false">-</mo><mn>5</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">=</mo><mo stretchy="false">-</mo><mn>7</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>49</mn><mo stretchy="false">-</mo><mn>14</mn><mo stretchy="false">-</mo><mn>5</mn><mo>≠</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mo stretchy="false">-</mo><mn>5</mn></mrow></mfrac></mrow></math> }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">+</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">=</mo><mn>10</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">=</mo><mn>8</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>64</mn><mo stretchy="false">+</mo><mn>16</mn><mo stretchy="false">-</mo><mn>5</mn><mo>≠</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mn>10</mn></mrow></mfrac></mrow></math> }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">+</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">=</mo><mo stretchy="false">-</mo><mn>10</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo stretchy="false">=</mo><mo stretchy="false">-</mo><mn>12</mn></math> }}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>144</mn><mo stretchy="false">-</mo><mn>24</mn><mo stretchy="false">-</mo><mn>5</mn><mo>≠</mo><mrow><mfrac><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mo stretchy="false">-</mo><mn>10</mn></mrow></mfrac></mrow></math> }}\hfill \\ \hline\end{array}}$    Molnár István (Békéscsaba, Széchenyi István Szki., 11. évf.)     II. megoldás. Értelmezzünk, majd tüntessük el a nevezőket: $x\ne \pm 2$. ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \left(x^3-7x+6\right)\left(x+2\right)}& {\displaystyle =\left(x-2\right)\left(2x+14\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x^4+2x^3-7x^2-8x+12}& {\displaystyle =2x^2+10x-\mathrm{28,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x^4+2x^3-9x^2-18x}& {\displaystyle =-\mathrm{40,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x^3\left(x+2\right)-9x\left(x+2\right)}& {\displaystyle =-\mathrm{40,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x\left(x+2\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right)}& {\displaystyle =-40.}\hfill \end{array}}$ Mivel az egész számok halmazán dolgozunk, ezért a $-40$ (nemcsak pozitív) osztóit kell megkeresnünk, ezeknek kell a tényezőknek megfelelniük. A $-40$ osztói: $1$, $2$, $4$, $5$, $8$, $10$, $20$, $40$ és ezek $-1$-szeresei. Az $x+2$ és az $x+3$ egymást követő egész számok, így csak az $1$, $2$; $-2$, $-1$; $4$, $5$ és $-5$, $-4$ számok jöhetnek szóba. Ezekben az esetekben $x=-1;-3;2;-6$. A $-3$ és a $-6$ nem jók, mert nem osztói a $-40$-nek, a $2$ pedig nincs benne az értelmezési tartományban. Nézzük meg, hogy $x=-1$ megoldás-e: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(-1\right)\cdot 1\cdot \left(-4\right)\cdot 2\ne -40.}\end{array}$ Tehát az egyenletnek nincs egész megoldása.    Görcs András (Somorja, Madách Imre Gimn., 9. évf.)   Megjegyzés. Néhányan a $3$-mal való oszthatóságot vizsgálták: az egyenletet átírták $\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)=2\left(x+7\right)$ alakra, majd megnézték $x\ge 0$, illetve $x<0$ esetén, hogy ha $x$ rendre $0$, $1$ vagy $2$ maradékot ad $3$-mal osztva, akkor mi a maradék a bal és a jobb oldalon. Mivel egyik esetben sem egyezik meg a maradék, ezért nincs megoldás az egész számok körében.