Kezdőlap


Feladat:	B.4950	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kupás Vendel Péter
Füzet:	2018/december, 540. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Fibonacci-sorozat, Rekurzív sorozatok, Indirekt bizonyítási mód
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/április: B.4950

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először vizsgáljuk meg, hogy a $2018$ Fibonacci szám-e? A Fibonacci-sorozat a második tagtól kezdve szigorúan monoton növekedő, így elegendő a tagjait felsorolni amíg el nem érjük a $2018$ -at:

\begin{matrix} 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ... \end{matrix}

2018

nem Fibonacci szám, a sorozat

17

-edik és

18

-adik tagja közé esik.
A továbbiakban belátjuk, hogy az

(a_{k})

sorozatban nem fordul elő Fibonacci-szám. Ezt teljes indukcióval bizonyítjuk. Az állítás

k = 0

-ra igaz, mert

F_{17} < a_{0} < F_{18}

. Tegyük fel, hogy valamely

m

-re

F_{n} < a_{m} < F_{n + 1}

, ahol

F_{n}

a legnagyobb Fibonacci-szám, amely kisebb

a_{m}

-nél. Mivel a Fibonacci-sorozat a második elemétől kezdve szigorúan monoton növekedő, ezért

\begin{matrix} F_{n + 1} = F_{n} + F_{n - 1} < 2 \cdot F_{n} < a_{m} + F_{n} < F_{n + 1} + F_{n} = F_{n + 2} . \end{matrix}

Az indukciós feltevést és az

a_{m} + F_{n} = a_{m + 1}

egyenlőséget felhasználva ebből

\begin{matrix} F_{n + 1} < a_{m + 1} < F_{n + 2} \end{matrix}

következik.
Az

(a_{k})

sorozatban tehát nem fordul elő Fibonacci-szám.

Kupás Vendel Péter (Gyöngyösi Berze Nagy János Gimn., 12. évf.)
dolgozata alapján

Megjegyzés: Több versenyző azt is megmutatta, hogy tetszőleges

n

természetes számra

a_{n} = F_{n + 18} - 566

. Mivel már az első tag esetén is nagyobb a megfelelő Fibonacci-számok különbsége, mint

566

, nem lesz az

(a_{k})

sorozatban Fibonacci-szám.