Színezzük ki a sík rácspontjait $k$ színnel. A feladat feltétele szerint van olyan rácsnégyszög, amelynek a csúcsai egyforma színűek. Ez legyen az $A$ négyszög. Ezután készítünk egy új színezést úgy, hogy az $A$ négyszög csúcsainak színezését lecseréljük a $k+1$, $k+2$, $k+3$ és $k+4$ színre. A feladat feltétele alapján ennél a színezésnél is létezik olyan négyszög, amelynek a csúcsai egyforma színűek, legyen ez a $B$ négyszög. Ennek a négyszögnek egyik csúcsa sem fog egybeesni az $A$ négyszög csúcsaival, mert $k+1$-től $k+4$-ig a színekből csak egy-egy darab csúcs van, viszont a $B$ négyszög mind a négy csúcsának ugyanolyan színűnek kell lennie. Tehát a $B$ négyszögnek biztosan nincs közös csúcsa az $A$ négyszöggel. Most a $B$ négyszög csúcsait festjük át $k+5$, $k+6$, $k+7$, $k+8$ színűre. Ekkor is létezik olyan négyszög amelynek csúcsai egyforma színűek (legyen ez a négyszög $C$), aminek nem lehet közös csúcsa sem $A$-val, sem $B$-vel, mert $C$ olyan négyszög, amelynek mindegyik csúcsa egyszínű, viszont az $A$ és $B$ csúcsainak színei csak pontosan egyszer fordulnak elő az újabb színezésben. Az eljárást folytatva, tegyük fel, hogy már $n$ darab páronként diszjunkt rácsnégyszöget kiválasztottunk. Akkor az előző eljárással kiválaszthatunk egy további olyat, amely az eddigiektől teljesen különböző. Végtelen sok olyan négyszöget fogunk kapni, amelyeknek nincs közös csúcsa.