Feladat: 5070. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Markó Gábor ,  Marozsák Tádé 
Füzet: 2019/február, 119 - 121. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Nyújtás, összenyomás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2018/november: 5070. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) A barlang mennyezetéhez és a talajhoz rögzített rugó megnyúlása terheletlen (denevérmentes) állapotban -d. Amikor a rugó közepére rárepül és a rugóba kapaszkodik egy m tömegű, kis méretű denevér, akkor tekinthetjük az elrendezést úgy, mintha a rugót még a nyújtatlan állapotában félbevágtuk volna két, egyenként d/2 hosszúságú részre. Ha az egyik részt felül, a másikat alul rögzítjük, majd középen összekötjük őket, akkor mindkét rugódarab megnyúlása (-d)/2 lesz.
A félbevágott rugó egy-egy részének a rugóállandója 2D, hiszen ugyanakkora erő hatására csak fele akkorát változik meg a hossza, mint az eredeti rugó tette volna. Ha a denevér súlya hatására (a kialakuló új egyensúlyi állapotban) a felső rugó megnyúlása x értékkel nő, az alsó rugóé ugyanennyivel csökken, akkor a denevérre ható erők egyensúlyi egyenlete:

2D(-d2+x)=2D(-d2-x)+mg.
Eszerint a denevér (a rezgések lecsillapodása után)
x=mg4D
távolsággal kerül mélyebbre a barlang közepénél, a talajtól 2-mg4D távolságban lesz egyensúlyban.
b) Innen a denevér lassan, óvatosan (elkerülve, hogy a rugó rezgésbe vagy lengésbe jöjjön) felmászik a rugónak egy olyan pontjáig, amelynél kapaszkodva a kialakuló egyensúlyi helyzete éppen a barlang közepénél lesz. Legyen ebben a helyzetben a denevér felett az egész rugó p-ed része (vagyis nyújtatlan állapotban d/p hosszúságú darabja), a denevér alatt pedig nyújtatlanul d-(d/p) hosszúságú rugódarab. p itt egy 1-nél nagyobb, később meghatározandó szám.
A nyújtatlanul d/p hosszúságú rugó rugóállandója
D(felső)=pD,
a másik darabé pedig
D(alsó)=11-1pD=pp-1D
lesz, hiszen a megrövidített rugók erőssége a hosszukkal fordított arányban növekszik. A denevér egyensúlyi állapotában a rugóerők és a nehézségi erő egyensúlyba kerülnek:
pD(2-dp)=pp-1D(2-p-1pd)+mg,
vagyis (algebrai átalakítások után):
p-2p-1p=2mgD.
Ennek a p-re nézve másodfokú egyenletnek a számunkra megfelelő (1-nél nagyobb) megoldása:
p=1+mgD+1+(mgD)2.
Érdekes, hogy a fenti képlet nem tartalmazza a feszítetlen rugó hosszát (d-t).
A denevérnek legalább annyi munkát kell végeznie, amennyivel összességében növekszik a saját helyzeti energiája és a két rugó rugalmas energiája a mászás során. A helyzeti energia változása:
E(helyzeti)=mgx=m2g24D.
A felső rugó rugalmas energiája kezdetben:
E1(felső)=122D(-d2+x)2,
az alsó rugó rugalmas energiája kezdetben:
E1(alsó)=122D(-d2-x)2,
a felső rugó rugalmas energiája a végállapotban:
E2(felső)=12(pD)(2-dp)2,
és végül az alsó rugó rugalmas energiája a végállapotban:
E2(alsó)=12(pp-1D)(2-dp-1p)2.

A szükséges munka:
WE(helyzeti)+(E2(felső)-E1(felső))+(E2(alsó)-E1(alsó)),
amit algebrai átalakítások és p korábban kiszámított értékének behelyettesítése után így is fel lehet írni:
Wm2g28D+mg4p-2p=(mg)28D+D24(1+m2g2D22-1).
(Érdekes, hogy ez a képlet sem tartalmazza d-t, a rugó nyújtatlan hosszát.)
 Markó Gábor (Győr, Révai Miklós Gimn., 11. évf.)