Feladat:	5044. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Pszota Máté
Füzet:	2019/február, 116 - 118. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Idődilatáció
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/május: 5044. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Jelöljük az űrhajó indulásától a születésnapi fénykép elkészítéséig a Földön eltelt időt (András ,,öregedését'') $t_1$-gyel ($t_1=1$ év). Az űrhajón az indulástól a rádiójelek megérkezéséig $t_2\text{'}=2$ év idő telik el. A ,,vessző'' arra utal, hogy ez az időtartam a Földtől $v$ sebességgel távolodó űrhajóban, Béla vonatkoztatási rendszerében mérhető. Ennyi idő alatt Béla 2 évet öregszik. A Föld, az űrhajó és a fényjelek (rádióüzenetek) ,,mozgását'' a Földhöz rögzített koordináta-rendszerben az ábrán látható módon szemléltethetjük.     $a)$ Legyen a fénykép elkészítése és az űrhajóhoz érkezése között eltelt idő András szerint $\Delta t$, a vákuumbeli fénysebességet (a rádióhullámok terjedési sebességét) pedig jelölje $c$. Az András által elküldött jelnek meg kell tennie az űrhajó által az indulásától a rádiójelek megérkezéséig megtett utat: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta t\cdot c=\left(t_1+\Delta t\right)\cdot v\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Tudjuk továbbá, hogy a relativisztikus idődilatáció jelensége miatt az űrhajón tartózkodó Béla által mért időtartam a Földön maradt András szerint a következő kapcsolatban áll az űrhajó indulása és a rádiójelek megérkezése között eltelt idővel: $\begin{array}{c}{\displaystyle t_2\text{'}=\left(\Delta t+t_1\right)\sqrt[]{1-\frac{v^2}{c^2}}\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Az (1) egyenletből kifejezhetjük $\Delta t$-t, és azt (2)-be helyettesíthetjük: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \Delta t=t_1\frac{v}{c-v}\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle t_2\text{'}=t_1\left(1+\frac{v}{c-v}\right)\sqrt[]{1-\frac{v^2}{c^2}}=t_1\sqrt[]{\frac{c+v}{c-v}}\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ ahonnan az űrhajó sebességére $\begin{array}{c}{\displaystyle v=\frac{t_2{\text{'}}^2-t_1^2}{t_2{\text{'}}^2+t_1^2}c=\frac{4-1}{4+1}c=\frac{3}{5}c=1\mathrm{,}8\cdot {10}^8\frac{\text{m}}{\text{s}}}\end{array}$ adódik. $b)$ A $v$ sebességet (3)-ba helyettesítve $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta t=\frac{3}{2}c{t}_1=1\mathrm{,}5\text{év}\mathrm{,}}\end{array}$ a keresett távolságra pedig az $s=c\Delta t=1\mathrm{,}5\text{fényév}\approx 1\mathrm{,}42\cdot {10}^{16}\text{m}$ eredményt kapjuk. $c)$ Mivel a Béla által visszafelé küldött rádióhullámok a speciális relativitáselmélet alapján $c$ sebességgel teszik meg az András által mért $s$ távolságot, így András szerint 1,5 év telik el a fénykép megérkezéséig. Tehát András életkora $20\text{év}+1\mathrm{,}0\text{év}+1\mathrm{,}5\text{év}+1\mathrm{,}5\text{év}=24\text{év}$ lesz, amikor a Földön megkapja Béla fényképét.  Pszota Máté (Révkomárom, Selye János Gimn., 12. évf.)  dolgozata alapján