A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Először teljes indukcióval azt igazoljuk, hogy egy -es téglalapot -es dominókkal -féleképpen lehet lefedni, ahol a Fibonacci-sorozat -edik tagját jelöli . A -es téglalap egyféleképpen fedhető le (), a -es pedig kétféleképpen (2 vízszintes, vagy 2 függőleges, ). Tegyük fel, hogy az állítás igaz minden méretű téglalapra, ahol . Tekintsük egy -es téglalap lehetséges lefedéseit és bontsuk ezeket két csoportra attól függően, hogy a bal alsó sarkuk milyen állású dominóval van lefedve. (Mivel sarokban van, csak kétféleképpen lehet.) Ha függőleges ez a dominó, akkor a megmaradó rész -es, amit az indukciós feltevés miatt -féleképpen lehet lefedni. Ha vízszintes, akkor a bal felső sarkot már csak egyféleképpen tudjuk lefedni, egy vízszintes dominóval. Ha ezt a 2 dominót letesszük, a megmaradó rész -es, amit -féleképpen lehet lefedni. Ezzel minden esetet megvizsgáltunk, tehát egy -eset -féleképen lehet lefedni. Most térjünk át a feladatra. Ha lefedjük egy sarkát, és melléteszünk egy vele párhuzamosat 1-gyel elcsúsztatva (lásd 1. ábra), akkor a lefedést már csak egyféleképpen fejezhetjük be, mert mindig lesz egy nem lefedett mező, amit az addig lerakottak miatt csak egyféleképpen lehet lefedni (pl: a legalsó sor 3. négyzete).
Ilyen lefedésből összesen 2 van, mivel a sarkot, ahol kezdtük az eljárást függőleges és vízszintes dominóval is le lehet fedni. (Ha a másikat választjuk, akkor a fenti ábra -os elforgatottját kapjuk, és akármelyik csúcsnál kezdjük, ennek a két lefedésnek a valamelyikét kapjuk.) Vagyis ha ezeket nem nézzük, akkor a lefedésekben nem fordulhat elő olyan, ami az 1. ábra bal oldalán van, azaz a többi esetben miután minden sarkot lefedtünk, a maradék részt felbonthatjuk -es téglalapokra (2. ábra, az ábrán behúzott szakaszokat nem takarhatja dominó).
![](upload/abr90/ab90240.png) 2. ábra Így a sakktábla minden oldalához eredetileg egy -as téglalap tartozik, és a sakktábla mind a négy sarkára lehelyezett -es dominó ezek közül valamelyiknek az oldalát 1-gyel megnöveli. Így tartozhat -as, -es és -es téglalap egy-egy oldalhoz, de sem két -as, sem két -es nem tartozhat szomszédos oldalakhoz. Ezeket a feltételeket figyelembe véve nézzük meg, hogy mekkorák lehetnek az oldalakhoz tartozó téglalapok. Ha van két 10-es, akkor azok csak egymással szemben lehetnek, a másik kettő pedig 8-as, mert a két 10-es ,,elhasználta'' a sarkok növelését. A 10-es oldalpár kétféleképpen helyezkedhet el. Ha egy 10-es van, akkor a többi három csak két 9-esből és egy 8-asból állhat (különben nem jönne ki a sarkok által nyújtott 4 növelés). A 10-es oldalt 4-féleképpen, majd a 8-ast 3-féleképpen helyezhetjük le, ez lehetőség. Ha nincs 10-es, akkor mindegyik 9-es (különben nem lenne meg a sarkok által nyújtott 4 növelés). Ekkor a sarkok -os forgásszimmetriával rendelkeznek, így ha az egyiket megválasztjuk, az meghatározza a többit. Ebből az esetből tehát 2 van. Minden sávot külön-külön kell lefedni, vagyis össze kell szorozni az egyes lefedhetőségeket. Tehát az eredeti alakzatot összesen
különböző módon fedhetjük le. Szabó Dávid (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.) dolgozata alapján |