Feladat:	2018. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 12. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bukva Balázs
Füzet:	2018/október, 387. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Számelmélet, Nemzetközi Matematikai Diákolimpia, Számsorozatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/szeptember: 2018. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 12. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Bukva Balázs megoldása. Ha $3\mid n$, akkor van megoldás, méghozzá legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle a_n=\{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 2}& {\displaystyle n\equiv 0\left(\text{mod}3\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -1}& {\displaystyle n\equiv 1\left(\text{mod}3\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -1}& {\displaystyle n\equiv 2\left(\text{mod}3\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Ez könnyen ellenőrizhető, hogy jó lesz. Más esetben nincsen megoldás. Tekintsük az alábbi átrendezést ($a_{n+3}:=a_3$): ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{a}_i{a}_{i+3}}& {\displaystyle ={\sum }_{i=1}^n{a}_i\left(a_{i+1}{a}_{i+2}+1\right)={\sum }_{i=1}^n{a}_i{a}_{i+1}{a}_{i+2}+{\sum }_{i=1}^n{a}_i=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle ={\sum }_{i=1}^n{a}_i{a}_{i+1}{a}_{i+2}+{\sum }_{i=1}^n{a}_{i+2}={\sum }_{i=1}^n\left(a_i{a}_{i+1}+1\right)a_{i+2}={\sum }_{i=1}^n{a}_{i+2}^2\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ebből a rendezési egyenlőtlenség alapján azt kapjuk, hogy $a_{i+3}=a_i$ minden $i$-re, így, ha $\left(n\mathrm{,3}\right)=1$, akkor az összes $a_i$ egyenlő, azaz $a_i=a$ valamilyen $a$-ra. De ebből az következne, hogy az $x^2+1=x$ egyenletnek $a$ egy valós megoldása, de ennek a másodfokú egyenletnek nincs valós megoldása. Ezzel beláttuk, hogy ha $\left(n\mathrm{,}3\right)=1$, akkor nincs megoldás.