Kezdőlap


Feladat:	2018. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Imolay András
Füzet:	2018/október, 386. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia, Síkgeometriai bizonyítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/szeptember: 2018. évi Nemzetközi Matematika Diákolimpia 11. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Imolay András megoldása.
Messe az $F D$ és a $G E$ egyenes $Γ$ -t másodszor rendre $M$ -ben és $N$ -ben.

F

rajta van

B D

felezőmerőlegesén, így az

F D B

háromszög egyenlőszárú,

F D B ∢

és

A D M ∢

csúcsszögek, és

B F A M

húrnégyszög, így

\begin{matrix} A D M ∢ = F D B ∢ = F B D ∢ = \\ = F B A ∢ = F M A ∢ = D M A ∢, \end{matrix}

tehát a

D A M

háromszög egyenlőszárú, így

A D = A M

. Hasonlóan kapjuk, hogy

A E = A N

, és a feladat feltétele szerint

A D = A E

, így

A N = A D = A E = A M

, tehát az

N

D

E

M

pontok egy

A

középpontú körre illeszkednek.

N D E M

és

G M N F

húrnégyszögek, így

\begin{matrix} M D E ∢ = M N E ∢ = M N G ∢ = M F G ∢, \end{matrix}

tehát a

D E

és

F G

egyenesek az

F M

egyenessel ugyanakkora szöget zárnak be, vagyis a

D E

és

F G

egyenesek párhuzamosak vagy egybeesnek. Kész vagyunk.