Kezdőlap


Feladat:	B.4925	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2018/szeptember, 349 - 350. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/január: B.4925

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a számok átlaga 1, ezért az összegük 2017. A számok nemnegatívak, és van köztük pozitív is, ezért az egyenlőtlenség bal oldalán szereplő kifejezés értelmes, hiszen mindegyik nevezőben legalább egy pozitív összeadandó szerepel, és így valamennyi nevező pozitív.
Megmutatjuk, hogy az egyenlőtlenség bal oldalán szereplő összegben mind a 2017 összeadandó legfeljebb $\frac{1}{2017}$ . Az összeg szimmetriája miatt elegendő igazolni, hogy

\begin{matrix} \frac{a_{1}}{a_{1}^{2018} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{2017}} \leq \frac{1}{2017} . \end{matrix}

Szorozva a pozitív nevezőkkel:

\begin{matrix} 2017 a_{1} \leq a_{1}^{2018} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{2017} . \end{matrix}

Mindkét oldalhoz

a_{1}

-et adva, és felhasználva, hogy

a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{2017} = 2017

adódik:

\begin{matrix} 2018 a_{1} \leq a_{1}^{2018} + 2017. \end{matrix}

Osztva

2018

-cal és a 2017-et szétbontva 2017 darab

1

összegére:

\begin{matrix} a_{1} \leq \frac{a_{1}^{2018} + 1 + 1 + ... + 1}{2018} . \end{matrix}

Ez pedig a nemnegatív számok számtani és mértani közepére vonatkozó egyenlőtlenség miatt teljesül, hiszen az egyenlőtlenség bal oldalán az

a_{1}^{2018},1,1, ...,1

számok (összesen 2018-tagú) mértani közepe, míg a jobb oldalon ugyanezen számok számtani közepe áll. Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha

a_{1} = 1

.
Ezzel igazoltuk, hogy a bizonyítandó egyenlőtlenség valamennyi törtje nem nagyobb, mint

\frac{1}{2017}

, és így a teljes összeg nem nagyobb, mint 1. Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha valamennyi

a_{i}

megegyezik

1

-gyel.

Megjegyzés. A

2018 a_{1} \leq a_{1}^{2018} + 2017

egyenlőtlenséget változatos módon bizonyították a feladatbeküldők. Ezekből mutatunk be kettőt.
1. Az egyenlőtlenség ekvivalens a

\begin{matrix} 2017 (a_{1} - 1) \leq a_{1}^{2018} - a_{1} = a_{1} (a_{1}^{2017} - 1) = a_{1} (a_{1} - 1) (a_{1}^{2016} + a_{1}^{2015} + ... + a_{1} + 1) \end{matrix}

egyenlőtlenséggel. Itt, ha

a_{1} = 1

, akkor nyilván az egyenlőség igaz, különben osszunk a nem nulla

(a_{1} - 1)

-gyel.
Ha

a_{1} > 1

(nem változik az egyenlőtlenség iránya), akkor

\begin{matrix} 2017 \leq a_{1} (a_{1}^{2016} + a_{1}^{2015} + ... + a_{1} + 1) \end{matrix}

nyilván teljesül, hiszen a jobb oldalon egy

1

-nél nagyobb, és egy

2017

-nél nagyobb szám szorzata áll (ugyanis a jobb oldali zárójelben álló 2017 tag közül 2016 nagyobb, mint 1, az utolsó pedig pontosan 1).
Ha viszont

a_{1} < 1

(a negatív

(a_{1} - 1)

-gyel osztva megváltozik az egyenlőtlenség iránya), akkor pedig a

\begin{matrix} 2017 \geq a_{1} (a_{1}^{2016} + a_{1}^{2015} + ... + a_{1} + 1) \end{matrix}

teljesül nyilván, mert ekkor a jobb oldalon egy

1

-nél kisebb, és egy

2017

-nél kisebb szám szorzata áll (hiszen most a jobb oldalon lévő zárójelben lévő 2017 tag közül 2016 kisebb, mint 1, az utolsó pedig pontosan 1).
2. Használjuk a következő, ún. Bernoulli-egyenlőtlenséget: Bármely valós

a \geq - 1

és

n \in N

számok esetén teljesül:

\begin{matrix} {(1 + a)}^{n} \geq 1 + n \cdot a . \end{matrix}

a_{1}

-et

(1 + a)

-nak (ekkor az

a_{i}

-k nemnegativitásából következik

a \geq - 1

), valamint

n

-et

2018

-nak választva kapjuk, hogy

a_{1}^{2018} \geq 1 + 2018 (a_{1} - 1) = 2018 a_{1} - 2017

, ami ‐ 2017-et adva mindkét oldalhoz ‐ éppen a bizonyítandó egyenlőtlenség.