A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A kettőscsillag kialakulása során, mivel a rendszerre külső erő nem hat, és anyag sem távozik belőle, annak tömegközéppontja mindvégig nyugalomban van az alkalmasan választott koordináta-rendszer origójában, továbbá a rendszernek a tömegközéppontra vonatkoztatott perdülete () is időben állandó. Legyen a két csillag távolsága , a tömegközépponttól mért távolságuk pedig és . Jelölje továbbá a csillagrendszer keringésének szögsebességét. Ekkor fennállnak az
összefüggések. A csillagok a tömegközéppont körüli körpályán keringenek. Az egyik (például az tömegű) csillag mozgásegyenlete: | | (3) | (Ugyanerre az összefüggésre vezet a másik csillag mozgásegyenlete is.) A (2) és (3) egyenletekből kiküszöbölésével a szögsebesség | | (4) | Az utolsó lépésnél felhasználtuk a számtani-mértani középre vonatkozó egyenlőtlenséget. A kettőscsillag-rendszer keringési ideje tehát | | Látható, hogy a két csillag keringési ideje nem lehet egy bizonyos értéknél kisebb. A leggyorsabb keringés a szimmetrikus tömegeloszlásnak, az esetnek felel meg. A (2) és (3) összefüggésekből az szögsebességet kiküszöbölve a csillagok távolságára adódik. (Ismét felhasználtuk a számtani-mértani középre vonatkozó egyenlőtlenséget.) A két csillag távolsága sem sem lehet egy bizonyos értéknél kisebb. A legkisebb csillagtávolság a szimmetrikus tömegeloszláshoz tartozik. Írjuk fel az tömegű csillag sugár irányú (radiális) mozgásegyenletét, amikor a tömegközépponttól mért távolsága , az -nek megfelelő ,,gyorsulás'' , a szögsebessége pedig : Itt most , és időben változó mennyiségek. Megjegyzés. (6) bal oldalának második tagja azt fejezi ki, hogy a polárkoordináta-rendszerben a sugár irányú gyorsulás nem egyszerűen , ami az távolság változási sebességének ,,változási üteme'' (második deriváltja), hanem . A -es kifejezést (6) jobb oldalára rendezve az a tag úgy is értelmezhető, mint az szögsebességgel forgó vonatkoztatási rendszerben fellépő ,,centrifugális erő''. Felhasználva az (1) és (2) összefüggéseket (6) tovább alakítható: | | (6') | ahol az távolságnak megfelelő ,,gyorsulás''. Mivel csak kis amplitúdóval ingadozik az (5)-nek megfelelő egyensúlyi érték körül, kereshetjük a megoldást alakban, ahol . Behelyettesítve ezt az alakot -be és elsőnél magasabb hatványait elhanyagolva, vagyis csak elsőrendben számolva a körpálya körüli ingadozásokat, a mozgásegyenlet így alakul: | | (7) | A fenti egyenlet származtatásánál kihasználtuk, hogy első (lineáris) közelítésben | | A (7) egyenlet (amelyben nemcsak ,,gyorsulása'', hanem az attól csak egy konstanssal különböző gyorsulása is) a harmonikus rezgőmozgás mozgásegyenlete, és a szögletes zárójelben álló kifejezés a rezgés körfrekvenciájának négyzete. Ezek szerint ami (4) szerint éppen a csillagok keringési szögsebességével egyezik meg. Ezek szerint | |
Marozsák Tóbiás (Budapest, Óbudai Árpád Gimn., 12. évf.) |