Kezdőlap


Feladat:	5033. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Fajszi Bulcsú , Marozsák Tóbiás , Tordai Tegze
Füzet:	2018/október, 439 - 441. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Kettőscsillagok, A perdületmegmaradás törvénye, Newton-féle gravitációs erő
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/április: 5033. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ A kettőscsillag kialakulása során, mivel a rendszerre külső erő nem hat, és anyag sem távozik belőle, annak tömegközéppontja mindvégig nyugalomban van az alkalmasan választott koordináta-rendszer origójában, továbbá a rendszernek a tömegközéppontra vonatkoztatott perdülete ( $N$ ) is időben állandó.
Legyen a két csillag távolsága $r$ , a tömegközépponttól mért távolságuk pedig $r_{1}$ és $r_{2}$ . Jelölje továbbá $ω = 2 π / T_{csillag}$ a csillagrendszer keringésének szögsebességét. Ekkor fennállnak az

\begin{matrix} r_{1} = r \frac{m_{2}}{M}, r_{2} = r \frac{m_{1}}{M}, & (1) \\ N = r_{1} m_{1} (r_{1} ω) + r_{2} m_{2} (r_{2} ω) = \frac{m_{1} m_{2}}{M} r^{2} ω & (2) \end{matrix}

összefüggések.
A csillagok a tömegközéppont körüli körpályán keringenek. Az egyik (például az

m_{1}

tömegű) csillag mozgásegyenlete:

\begin{matrix} γ \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} = m_{1} r_{1} ω^{2} = \frac{m_{1} m_{2}}{M} r ω^{2}, azaz γ M = r^{3} ω^{2} . \end{matrix}

(3)

(Ugyanerre az összefüggésre vezet a másik csillag mozgásegyenlete is.)
A (2) és (3) egyenletekből

r

kiküszöbölésével a szögsebesség

\begin{matrix} ω = \frac{γ^{2} {(m_{1} m_{2})}^{3}}{M N^{3}} \leq \frac{γ^{2} M^{5}}{64 N^{3}} . \end{matrix}

(4)

Az utolsó lépésnél felhasználtuk a számtani-mértani középre vonatkozó

\begin{matrix} \sqrt[]{m_{1} m_{2}} \leq \frac{m_{1} + m_{2}}{2} = \frac{M}{2} \end{matrix}

egyenlőtlenséget.
A kettőscsillag-rendszer keringési ideje tehát

\begin{matrix} T_{csillag} = 2 π \frac{M N^{3}}{γ^{2} {(m_{1} m_{2})}^{3}} \geq 128 π \frac{N^{3}}{γ^{2} M^{5}} . \end{matrix}

Látható, hogy a két csillag keringési ideje nem lehet egy bizonyos értéknél kisebb. A leggyorsabb keringés a szimmetrikus tömegeloszlásnak, az

m_{1} = m_{2} = M / 2

esetnek felel meg.

b)

A (2) és (3) összefüggésekből az

ω

szögsebességet kiküszöbölve a csillagok távolságára

\begin{matrix} r = \frac{N^{2} M}{γ {(m_{1} m_{2})}^{2}} \geq 16 \frac{N^{2}}{γ M^{3}} \end{matrix}

(5)

adódik. (Ismét felhasználtuk a számtani-mértani középre vonatkozó egyenlőtlenséget.)
A két csillag távolsága sem sem lehet egy bizonyos értéknél kisebb. A legkisebb csillagtávolság a szimmetrikus tömegeloszláshoz tartozik.

c)

Írjuk fel az

m_{1}

tömegű csillag sugár irányú (radiális) mozgásegyenletét, amikor a tömegközépponttól mért távolsága

r_{1}

, az

r_{1}

-nek megfelelő ,,gyorsulás''

a_{1}

, a szögsebessége pedig

ω

\begin{matrix} m_{1} a_{1} - m_{1} r_{1} ω^{2} = - γ \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} . \end{matrix}

(6)

Itt most

r_{1}

r

és

ω

időben változó mennyiségek.

Megjegyzés. (6) bal oldalának második tagja azt fejezi ki, hogy a polárkoordináta-rendszerben a sugár irányú gyorsulás nem egyszerűen

a (t)

, ami az

r (t)

távolság változási sebességének ,,változási üteme'' (második deriváltja), hanem

a_{1} (t) - r_{1} ω^{2}

. A

- (m_{1} r_{1} ω^{2})

-es kifejezést (6) jobb oldalára rendezve az a tag úgy is értelmezhető, mint az

ω

szögsebességgel forgó vonatkoztatási rendszerben fellépő ,,centrifugális erő''.

Felhasználva az (1) és (2) összefüggéseket (6) tovább alakítható:

\begin{matrix} \frac{m_{1} m_{2}}{M} a (t) - \frac{m_{1} m_{2}}{M} {(\frac{M N}{m_{1} m_{2}})}^{2} \cdot \frac{1}{r {(t)}^{3}} = - γ \frac{m_{1} m_{2}}{r {(t)}^{2}}, \end{matrix}

(6')

ahol

a (r)

r (t)

távolságnak megfelelő ,,gyorsulás''. Mivel

r (t)

csak kis amplitúdóval ingadozik az (5)-nek megfelelő egyensúlyi

\begin{matrix} r_{0} = \frac{N^{2} M}{γ {(m_{1} m_{2})}^{2}} \end{matrix}

érték körül, kereshetjük a megoldást

r (t) = r_{0} + x (t)

alakban, ahol

x (t) ≪ r_{0}

. Behelyettesítve ezt az alakot

(6')

-be és

x / r_{0}

elsőnél magasabb hatványait elhanyagolva, vagyis csak elsőrendben számolva a körpálya körüli ingadozásokat, a

(6')

mozgásegyenlet így alakul:

\begin{matrix} a (t) = - {[\frac{γ^{2} {(m_{1} m_{2})}^{3}}{M N^{3}}]}^{2} \cdot x (t) . \end{matrix}

(7)

A fenti egyenlet származtatásánál kihasználtuk, hogy első (lineáris) közelítésben

\begin{matrix} \frac{1}{r {(t)}^{2}} \approx \frac{1}{r_{0}^{2}} (1 - 2 \frac{x (t)}{r_{0}}) és \frac{1}{r {(t)}^{3}} \approx \frac{1}{r_{0}^{3}} (1 - 3 \frac{x (t)}{r_{0}}) . \end{matrix}

A (7) egyenlet (amelyben

a (t)

nemcsak

r (t)

,,gyorsulása'', hanem az attól csak egy

r_{0}

konstanssal különböző

x (t)

gyorsulása is) a harmonikus rezgőmozgás mozgásegyenlete, és a szögletes zárójelben álló kifejezés a rezgés körfrekvenciájának négyzete. Ezek szerint

\begin{matrix} ω_{ingadozás} = \frac{γ^{2} {(m_{1} m_{2})}^{3}}{M N^{3}}, \end{matrix}

ami (4) szerint éppen a csillagok keringési szögsebességével egyezik meg. Ezek szerint

\begin{matrix} T_{ingadozás} = T_{csillag} = 2 π \frac{M N^{3}}{γ^{2} {(m_{1} m_{2})}^{3}} . \end{matrix}

Marozsák Tóbiás (Budapest, Óbudai Árpád Gimn., 12. évf.)