Kezdőlap


Feladat:	4993. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Debreczeni Tibor
Füzet:	2018/október, 435 - 436. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Egyéb mozgás lejtőn, Newton-féle gravitációs erő
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/január: 4993. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ Az alagút két vége a felszín alatt $h = 0, 02$ km mélyen van, így távolsága a Föld középpontjától

\begin{matrix} R - h = 6370, 98 km. \end{matrix}

A Pitagorasz-tételből kiszámolható, hogy az alagút közepe a Föld középpontjától

\begin{matrix} r = \sqrt[]{6370, 98^{2} - 20^{2}} km = 6370, 949 km \end{matrix}

távolságra van, így

\begin{matrix} R - r = 6371, 000 km - 6370, 949 km = 0, 051 km = 51 m \end{matrix}

magasan áll az alagút közepe felett a víz (lásd a nem méretarányos ábrát).

b)

A vagon és a Föld tömegközpontjának távolsága folyamatosan változik, ezért a vagonra ható gravitációs erő is folyamatosan változik. Amikor a vagon

y

távolságra van a Föld középpontjától, akkor a tömegvonzás szempontjából csak az

M

tömegű Földnek az

y

sugarú gömbön belüli,

m^{*}

tömegű része jön számításba, ahol

\begin{matrix} m^{*} = M \frac{\frac{4}{3} y^{3} π}{\frac{4}{3} R^{3} π} = \frac{y^{3}}{R^{3}} M . \end{matrix}

m

tömegű vagonra ható gravitációs erő:

\begin{matrix} F_{grav} = γ \frac{m m^{*}}{y^{2}} = γ \frac{m M}{R^{3}} y, \end{matrix}

amelynek a pálya irányába eső, a pálya középpontja felé mutató komponense:

\begin{matrix} F = - F_{grav} \cdot cos φ = - F_{grav} \frac{x}{y} = - γ \frac{m M}{R^{3}} x . \end{matrix}

A képletben

x

a vagon és a pálya középpontjának távolságát jelöli. Láthatjuk, hogy a testre ható erő arányos a kitéréssel és azzal ellentétes irányú, ezért a test harmonikus rezgőmozgást végez, éppen úgy, mint egy

\begin{matrix} D = γ \frac{m M}{R^{3}} \end{matrix}

rugóállandójú rugó által kifejtett erő hatására tenné. Jelen esetben a vagon egy félperiódusnyit mozog, tehát a menetideje:

\begin{matrix} t = \frac{T}{2} = π \sqrt[]{\frac{m}{D}} = π \sqrt[]{\frac{R^{3}}{γ M}} = 2531 s \approx 42 perc . \end{matrix}

Megjegyzés. Felhasználva, hogy a nehézségi gyorsulás a Föld felszínén

g = γ M / R^{2}

, a vagon mozgásának ideje a

t = π \sqrt[]{R / g}

összefüggésből is kiszámítható.

c)

A vagon harmonikus rezgőmozgást végez

A = 20

km-es amplitúdóval, ezért az alagút közepén lesz a legnagyobb a sebessége:

\begin{matrix} v_{max} = A \frac{2 π}{T} = 24, 8 \frac{m}{s} = 89, 3 \frac{km}{h} . \end{matrix}

Debreczeni Tibor (Budapest, Békásmegyeri Veres Péter Gimn., 11. évf.)