Kezdőlap


Feladat:	4990. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Elek Péter , Fekete András Albert , Fekete Balázs Attila , Kondákor Márk , Marozsák Tóbiás , Máth Benedek , Olosz Adél , Sal Dávid
Füzet:	2018/szeptember, 372 - 373. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb hidrosztatikai nyomás
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/december: 4990. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$a)$ Legyen a víz nyomása a felső dugattyúnál $p$ , és tételezzük fel, hogy a rúd $K$ erővel húzza lefelé a felső dugattyút. Írjuk fel az egyensúlyban lévő felső dugattyúra a dinamika alapegyenletét:

\begin{matrix} 0 = p A_{1} - p_{0} A_{1} - K = 0. \end{matrix}

(1)

A felső dugattyú

K

erővel húzza a rudat felfelé, és mivel a rúd gyorsulása is nulla, ugyanekkora

K

nagyságú erővel kell húzza az alsó dugattyú a rudat lefelé. Ezek szerint ‐ Newton III. törvénye alapján ‐ a rúd is

K

erővel hat az alsó dugattyúra, ekkora erővel húzza azt felfelé.
Az alsó dugattyúra felírható (egyensúlyi) egyenlet:

\begin{matrix} (p + ϱ g ℓ) A_{2} - p_{0} A_{2} - K = 0. \end{matrix}

(2)

(Felhasználtuk, hogy a folyadék nyomása az alján a hidrosztatikai nyomásnak megfelelő

ϱ g ℓ

értékkel nagyobb, mint a tetejénél.)
Az (1) egyenletet (2)-ből kivonva kapjuk, hogy:

\begin{matrix} p (A_{1} - A_{2}) + p_{0} (A_{2} - A_{1}) - ϱ g ℓ A_{2} = 0. \end{matrix}

Ebből a folyadék nyomása a felső dugattyú közelében:

\begin{matrix} p = \frac{ϱ g ℓ}{A_{1} - A_{2}} A_{2} + p_{0}, \end{matrix}

amit a felső dugattyúra felírt (1) egyenletbe behelyettesítve a rudat feszítő húzóerőre

\begin{matrix} K = p A_{1} - p_{0} A_{1} = ϱ g ℓ \frac{A_{1} A_{2}}{A_{1} - A_{2}} \end{matrix}

adódik. Mivel

K > 0

, a rúdban ‐ a feltételezésünkkel összhangban ‐ valóban húzóerő alakul ki. Az is látható, hogy

ℓ

értékének növelésével a folyadék

p

nyomása is és a rudat feszítő

K

erő nagysága is egyre nagyobb lesz.

b)

Az előző feladatrészhez hasonlóan, annak jelöléseivel oldjuk meg ezt az esetet is. Előbb a felső, majd az alsó dugattyúra felírva az egyensúly feltételét:

\begin{matrix} 0 = p A_{2} - p_{0} A_{2} - K & = 0, & (1) \\ (p + ϱ g ℓ) A_{1} - p_{0} A_{1} - K & = 0. \end{matrix}

Ebből a folyadék nyomása a felső dugattyúnál:

\begin{matrix} p = p_{0} - \frac{ϱ g ℓ}{A_{1} - A_{2}} A_{1}, \end{matrix}

a rudat ,,feszítő'' erő pedig

\begin{matrix} K = p A_{2} - p_{0} A_{2} = - ϱ g ℓ \frac{A_{1} A_{2}}{A_{1} - A_{2}} . \end{matrix}

Mivel most

K < 0

, a rúdban ténylegesen nyomóerő hat, és

p < p_{0}

.
Érdekes helyzet áll elő, ha

ℓ

,,viszonylag nagy''. Ha

\begin{matrix} ℓ > \frac{A_{1} - A_{2}}{A_{1}} \cdot \frac{p_{0}}{ϱ g}, \end{matrix}

akkor (formálisan) negatív nyomásértéket kapunk, aminek nincs fizikai értelme. Ilyen esetben a folyadék a felső dugattyú közelében már korábban forrni kezd, a tömegközéppontja egyre lejjebb kerül, és a gravitációs helyzeti energiájának csökkenése fedezi a forráshoz szükséges belsőenergia-változást.

Kondákor Márk (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.)
dolgozata alapján