Kezdőlap


Feladat:	C.1468	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Agócs Katinka , Balog Lóránd , Kiszelovics Dorina , Magyar Boglárka , Mészáros Márton , Molnár István , Németh Csilla Márta , Spányik Teodor , Surján Anett , Szécsi Adél Lilla
Füzet:	2018/május, 283 - 284. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Algebrai átalakítások
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/február: C.1468

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat feltétele alapján $a \geq 0$ , $b \geq 0$ ( $a, b \in R$ ), így $\sqrt[]{a}$ és $\sqrt[]{b}$ léteznek. Legyen

\begin{matrix} E (a; b) = \frac{1}{2} {(a + b)}^{2} + \frac{1}{4} (a + b) - a \sqrt[]{b} - b \sqrt[]{a} . \end{matrix}

Azt kell belátni, hogy

E (a; b) \geq 0

\begin{matrix} E (a; b) & = \frac{1}{2} {(a + b)}^{2} + \frac{1}{4} (a + b) - a \sqrt[]{b} - b \sqrt[]{a} = \\ = \frac{1}{2} a^{2} + a b + \frac{1}{2} b^{2} + \frac{1}{4} a + \frac{1}{4} b - a \sqrt[]{b} - b \sqrt[]{a} = \\ = (\frac{1}{2} a^{2} - a b + \frac{1}{2} b^{2}) + (a b + \frac{1}{4} a - a \sqrt[]{b}) + (a b + \frac{1}{4} b - b \sqrt[]{a}) = \\ = \frac{1}{2} (a^{2} - 2 a b + b^{2}) + a (b + \frac{1}{4} - \sqrt[]{b}) + b (a + \frac{1}{4} - \sqrt[]{a}) = \\ = \frac{1}{2} {(a - b)}^{2} + a {(\sqrt[]{b} - \frac{1}{2})}^{2} + b {(\sqrt[]{a} - \frac{1}{2})}^{2} . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} E (a; b) = \frac{1}{2} {\underset{︸}{{(a - b)}^{2}}}_{\geq 0}^{} + {\underset{︸}{a}}_{\geq 0}^{} {\underset{︸}{{(\sqrt[]{b} - \frac{1}{2})}^{2}}}_{\geq 0}^{} + {\underset{︸}{b}}_{\geq 0}^{} {\underset{︸}{{(\sqrt[]{a} - \frac{1}{2})}^{2}}}_{\geq 0}^{}, \end{matrix}

és mivel nemnegatív számok szorzata és összege is nemnegatív, kapjuk, hogy

E (a; b) \geq 0

(és ez az, amit bizonyítani akartunk).
Az egyenlőség akkor teljesül, ha (az összegben) minden tag nulla:

\begin{matrix} \frac{1}{2} {(a - b)}^{2} = 0 \to a - b = 0 \Rightarrow a = b \end{matrix}

és

\begin{matrix} a {(\sqrt[]{b} - \frac{1}{2})}^{2} = 0 \Rightarrow a = 0 vagy \sqrt[]{b} - \frac{1}{2} = 0, azaz b = \frac{1}{4} \end{matrix}

és

\begin{matrix} a {(\sqrt[]{a} - \frac{1}{2})}^{2} = 0 \Rightarrow b = 0 vagy \sqrt[]{a} - \frac{1}{2} = 0, azaz a = \frac{1}{4} . \end{matrix}

Mindezek alapján az egyenlőség akkor teljesül (az

a = b

feltétel figyelembevételével), ha

a = b = 0

, illetve ha

a = b = \frac{1}{4}

Molnár István (Békéscsaba, Széchenyi István Szki.,11. évf.)

Megjegyzés. A versenyzők többsége a honlapon közölthöz hasonló módon oldotta meg a feladatot. A leggyakoribb hiba az egyenlőség egyik esetének hiánya volt.