Feladat:	C.1387	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Apagyi Dávid ,  Csóka Zoárd ,  Demeter Gergõ ,  Dobák Dániel
Füzet:	2018/május, 282 - 283. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Harmadfokú (és arra visszavezethető) egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2016/december: C.1387

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Az $x$ egy $6$-nál nagyobb pozitív egész szám, mert az $x$ alapú számrendszerben felírt szám tartalmaz $6$-os számjegyet. Mivel ${2016}_x=2x^3+x+6$, ezért a következő egyenletet írhatjuk fel: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 2x^3+x+6}& {\displaystyle =x^3+2x+\mathrm{342,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x^3-x-336}& {\displaystyle =0.}\hfill \end{array}}$ Vizsgáljuk az egyenlet megoldásait a természetes számok körében, ezek a konstans tag osztói közül kerülhetnek ki. A $-336$ pozitív osztói sorban: $\mathrm{1,2,3,4,6,7,}\text{...}\mathrm{.}$ Elég 7-től vizsgálni, mert $x>6$. Az $x=7$ kielégíti az egyenletet. Tehát $\left(x-7\right)$ kiemelhető az egyenlet bal oldalán álló kifejezésből: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^3-x-336=\left(x-7\right)\left(x^2+7x+48\right)=0.}\end{array}$ Mivel egy szorzat pontosan akkor 0, ha az egyik tényezője 0, ezért meg kell még vizsgálni, hogy a másodfokú kifejezés értéke mikor 0. De az $x^2+7x+48=0$ másodfokú egyenlet diszkriminánsa $D=7^2-4\cdot 48<0$, ezért nincs valós gyöke. Tehát az egyetlen megoldás $x=7$.   Rendezzük az $x^3-x-336=0$ egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle 336=x^3-x=x\left(x^2-1\right)=x\left(x+1\right)\left(x-1\right)=\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\mathrm{.}}\end{array}$    Csóka Zoárd (Győri Műszaki Szakképzési Centrum Jedlik Ányos Gépipari és  Informatikai Szakgimn., Szki. és Koll., 10. évf.)   Ezt felhasználva más módon is el lehetett jutni a megoldáshoz. Mutatunk néhány lehetséges utat.   II. megoldás. Mivel $x\in \text{N}$ (illetve $x\ge 7$ a ${2016}_x$-ben szereplő 6-os számjegy miatt), ezért lényegében három olyan, egymást követő pozitív egész számot keresünk, melyek szorzata 336. Mivel $\forall x_1<x_2$ $\left(x_1\mathrm{,}{x}_2\in \text{N}\right)$ esetén $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(x_1-1\right)x_1\left(x_1+1\right)<\left(x_2-1\right)x_2\left(x_2+1\right)\mathrm{,}}\end{array}$ azért mert a két szorzatban a második kifejezés tényezői páronként mindig nagyobbak, az egyenletnek csak egy valós gyöke van. A korábban meghatározott legkisebb lehetséges $x=7$ esetén az egyenlőség valóban fennáll ($6\cdot 7\cdot 8=336$), tehát ez az egyetlen megoldás.    Apagyi Dávid ( (Kecskeméti Katona J. Gimn., 9. évf.)     III. megoldás. Mivel $x$ pozitív egész, ezért $x\left(x-1\right)\left(x+1\right)$ 3 egymást követő pozitív egész szám szorzata. $336$ prímtényezős felbontása: $2^4\cdot 3\cdot 7$. Ebből ki is jön, hogy $6\cdot 7\cdot 8=336$, így $x=7$ és más megoldás nem lehetséges.    Demeter Gergő (Szegedi Radnóti M. Kísérleti Gimn., 11. évf.)     IV. megoldás. Az utolsó egyenletből azt kapjuk, hogy három szomszédos, pozitív egész szám szorzata lesz $336$. Mivel az adott számrendszerben fel lehet írni a $6$-os számjegyet, ezért $x\ge 7$. $\begin{array}{c}{\displaystyle \sqrt[3]{\left(x-1\right)x\left(x+1\right)}=\sqrt[3]{336}\approx 6\mathrm{,}95.}\end{array}$ A három szám mértani közepe 6,95$\text{...}$, és a mértani közép nem lehet kisebb mindhárom számnál, vagyis a legkisebb szám maximum 6, tehát $x\le 7$. Vagyis az $x$ csak 7 lehet. Hogy az $x=7$ jó-e, azt könnyen kiszámolhatjuk: $6\cdot 7\cdot 8=336$, vagyis ez tényleg jó megoldás.    Dobák Dániel (Budapest V. Ker. Eötvös J. Gimn., 10. évf.)