A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Az egy -nál nagyobb pozitív egész szám, mert az alapú számrendszerben felírt szám tartalmaz -os számjegyet. Mivel , ezért a következő egyenletet írhatjuk fel:
Vizsgáljuk az egyenlet megoldásait a természetes számok körében, ezek a konstans tag osztói közül kerülhetnek ki. A pozitív osztói sorban: Elég 7-től vizsgálni, mert . Az kielégíti az egyenletet. Tehát kiemelhető az egyenlet bal oldalán álló kifejezésből: | | Mivel egy szorzat pontosan akkor 0, ha az egyik tényezője 0, ezért meg kell még vizsgálni, hogy a másodfokú kifejezés értéke mikor 0. De az másodfokú egyenlet diszkriminánsa , ezért nincs valós gyöke. Tehát az egyetlen megoldás .
Rendezzük az egyenletet: | |
Csóka Zoárd (Győri Műszaki Szakképzési Centrum Jedlik Ányos Gépipari és Informatikai Szakgimn., Szki. és Koll., 10. évf.) Ezt felhasználva más módon is el lehetett jutni a megoldáshoz. Mutatunk néhány lehetséges utat.
II. megoldás. Mivel (illetve a -ben szereplő 6-os számjegy miatt), ezért lényegében három olyan, egymást követő pozitív egész számot keresünk, melyek szorzata 336. Mivel esetén | | azért mert a két szorzatban a második kifejezés tényezői páronként mindig nagyobbak, az egyenletnek csak egy valós gyöke van. A korábban meghatározott legkisebb lehetséges esetén az egyenlőség valóban fennáll (), tehát ez az egyetlen megoldás.
Apagyi Dávid ( (Kecskeméti Katona J. Gimn., 9. évf.)
III. megoldás. Mivel pozitív egész, ezért 3 egymást követő pozitív egész szám szorzata. prímtényezős felbontása: . Ebből ki is jön, hogy , így és más megoldás nem lehetséges.
Demeter Gergő (Szegedi Radnóti M. Kísérleti Gimn., 11. évf.)
IV. megoldás. Az utolsó egyenletből azt kapjuk, hogy három szomszédos, pozitív egész szám szorzata lesz . Mivel az adott számrendszerben fel lehet írni a -os számjegyet, ezért . A három szám mértani közepe 6,95, és a mértani közép nem lehet kisebb mindhárom számnál, vagyis a legkisebb szám maximum 6, tehát . Vagyis az csak 7 lehet. Hogy az jó-e, azt könnyen kiszámolhatjuk: , vagyis ez tényleg jó megoldás.
Dobák Dániel (Budapest V. Ker. Eötvös J. Gimn., 10. évf.) |
|