Kezdőlap


Feladat:	B.4908	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hervay Bence , Velkey Vince
Füzet:	2018/április, 221 - 222. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Kör geometriája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/november: B.4908

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az ábra jelöléseit. Tudjuk, hogy olyan kör inverz képe, amely átmegy az alapkör középpontján, egyenes lesz. A $k_{1}$ kör átmegy a $k_{2}$ kör középpontján valamint $P$ és $Q$ pontjain, így a $k_{1}$ kör $k_{2}$ körre vett inverz képe a $P Q = e$ egyenes lesz.

Tükrözzük a

C

pontot az

A B

egyenesre, legyen a tükörkép

C_{1}

. Ekkor

C C_{1} = 2 C T

.
Invertáljuk a

C_{1}

pontot a

k_{2}

körre. Mivel

C_{1}

rajta van a

k_{2}

kör

C T

sugarának meghosszabbításán, így képe a

C T

sugárra esik. Mivel rajta van a

k_{1}

körön is, ezért képének rajta kell lenni az

e

egyenesen, mert ez a

k_{1}

kör inverz képe. Tehát a

C_{1}

pont inverz képe a

C T

sugár és az

e

egyenes metszéspontja,

M

lesz.
Az inverzió tulajdonságai miatt:

\begin{matrix} | C M | \cdot | C C_{1} | & = {| C T |}^{2}, \\ | C M | = \frac{{| C T |}^{2}}{| C C_{1} |} = \frac{{| C T |}^{2}}{2 | C T |} & = \frac{| C T |}{2} . \end{matrix}

Tehát az

M

pont, és így a

P Q

egyenes felezi a

C T

szakaszt.

Hervay Bence (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 9. évf.) és
Velkey Vince (Budapest, Piarista Gimnázium, 12. évf.)
dolgozata alapján