Kezdőlap


Feladat:	B.4905	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bukva Dávid , Fülöp Anna Tácia , Gáspár Attila , Janzer Orsolya Lili , Kerekes Anna , Kovács Tamás , Kupás Vendel Péter , Nagy Nándor , Terjék András József , Weisz Máté
Füzet:	2018/április, 218 - 219. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyenlőtlenségek, Nevezetes azonosságok, Konstruktív megoldási módszer
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2017/november: B.4905

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha valamilyen $k \leq n$ -re $a_{2 k - 1} = 0$ , akkor $a_{2 k - 1} = a_{2 k} = ... = a_{2 n - 1} = a_{2 n} = 0$ , és ugyanolyan feltételek mellett feladatként a bizonyítandó egyenlőtlenség $n = k - 1$ esetét kapjuk. Ha pedig $a_{2 k - 1} > 0 = a_{2 k}$ , akkor hasonlóan elég $n = k - 1$ -re igazolni az állítást. Ezért az egyenlőtlenség bizonyítása során feltesszük, hogy $a_{2 n}$ , és így valamennyi $a_{j}$ pozitív.
A feltételek szerint minden $t > k$ -ra $a_{2 t - 1} a_{2 t} \leq a_{2 k - 1} a_{2 k}$ , azaz

\begin{matrix} a_{2 t - 1} a_{2 t} \leq \sqrt[]{a_{2 k - 1} a_{2 k} a_{2 t - 1} a_{2 t}}; \end{matrix}

így

\begin{matrix} (2 t - 1) a_{2 t - 1} a_{2 t} \leq a_{2 t - 1} a_{2 t} + 2 \sum_{k = 1}^{t - 1} \sqrt[]{a_{2 k - 1} a_{2 k} a_{2 t - 1} a_{2 t}} . \end{matrix}

A kapott egyenlőtlenségeket összeadva:

\begin{matrix} \sum_{t = 1}^{n} (2 t - 1) a_{2 t - 1} a_{2 t} & \leq \sum_{t = 1}^{n} a_{2 t - 1} a_{2 t} + 2 \sum_{1 \leq k < t \leq n} \sqrt[]{a_{2 k - 1} a_{2 k}} \sqrt[]{a_{2 t - 1} a_{2 t}} = \\ = {(\sum_{b = 1}^{n} \sqrt[]{a_{2 b - 1} a_{2 b}})}^{2} . \end{matrix}

Az utóbbi összeg mindegyik tagjára a (kéttagú) számtani és mértani közép közti egyenlőtlenséget felírva:

\begin{matrix} {(\sum_{b = 1}^{n} \sqrt[]{a_{2 b - 1} a_{2 b}})}^{2} \leq {(\sum_{b = 1}^{n} \frac{a_{2 b - 1} + a_{2 b}}{2})}^{2} = \frac{1}{4} . \end{matrix}

Egyenlőséget akkor kapunk, ha valamennyi

a_{2 t - 1} a_{2 t} \leq a_{2 k - 1} a_{2 k}

és

\sqrt[]{a_{2 b - 1} a_{2 b}} \leq \frac{a_{2 b - 1} + a_{2 b}}{2}

becslésünkben egyenlőség áll. Előbbieknél ez (

a_{j} > 0

miatt)

a_{2 t - 1} = a_{2 k - 1}

és

a_{2 t} = a_{2 k}

(minden

k < t

-re), utóbbiaknál pedig

a_{2 b - 1} = a_{2 b}

esetén (minden

b

-re) teljesül, vagyis

a_{1} = a_{2} = ... = a_{2 n}

-re. Az általános esetben tehát az egyenlőség teljesülésének szükséges és elégséges feltétele

\begin{matrix} a_{1} & = a_{2} = ... = a_{2 n} = \frac{1}{2 n}, vagy \\ a_{1} & = a_{2} = ... = a_{2 v} = \frac{1}{2 v}, a_{2 v + 1} = a_{2 v + 2} = ... = 0, valamely 1 \leq v < n -re. \end{matrix}

Kupás Vendel Péter (Gyöngyösi Berze Nagy János Gimn., 12. évf.)