|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Miután az első rabló elvesz annyi aranytallért, amennyi a zsákmányolt aranytallérok számában a számjegyek összege, a megmaradt tallérok száma biztosan osztható lesz 9-cel, hiszen a 9-cel való oszthatósági szabály alapján a számjegyek összegének 9-es maradéka ugyanannyi, mint a szám 9-es maradéka.
Még 13-szor veszik el egy 9-cel osztható összegből mindig az összeg számjegyeinek összegét, ami szintén osztható 9-cel, tehát minden lépésben 9-cel osztható szám marad.
Mivel a tallérok elfogynak, az utolsó lépésben elvett tallérok száma csak egyjegyű, -cel osztható szám lehet, mert a kettő vagy többjegyű számok nagyobbak számjegyeik összegénél. Tehát a -dik lépésben elvett tallérok száma .
Mivel 14-szer vesznek el az aranyból és ebből 13-szor biztosan a 9 többszörösét, a kiindulási szám biztosan nagyobb, mint 100.
Nézzük azt esetet, amikor az aranyak száma még háromjegyű, egy rabló elveszi a számjegyek összegét és a maradék aranyak száma már csak kétjegyű lesz: Mivel , ezért ez a szám csak akkor kétjegyű, ha és . Tehát valamikor az elvételek során az aranyak száma 99 lesz.
Ezután a következő módon fog fogyni az arany:
Ez összesen 10 lépés, tehát az 5. rabló volt az, aki 99 tallérból 18-at vett el. A feladat szövege szerint a vezéren kívül mindenkinek ugyanannyi jut, tehát ők mindkét alkalommal 9-9 aranyat vettek. Ezt felhasználva az első öt tallér elvétel így alakul:
Tehát a vezér az 5. volt a névsorban.
Markó Anna Erzsébet (Révkomárom, Selye János Gimnázium, 11. évf.) és
Vida Tamás (Győr, Kazinczy F. Gimn., 10. évf.)
dolgozata alapján |
PDF |