Feladat:	2017. évi Eötvös fizikaverseny 2. feladata	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	2018/március, 171 - 172. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Megosztás, Gömbkondenzátor
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2018/március: 2017. évi Eötvös fizikaverseny 2. feladata

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A feladat nehézsége abban rejlik, hogy a fémgömbök eredetileg fennálló gömbszimmetriáját elrontja a $Q$ ponttöltés jelenléte. Emiatt a gömbökön kialakuló töltéseloszlás erősen inhomogén lesz, és az elektromos mező szerkezete is meglehetősen bonyolult. Szerencsére a töltéseloszlás meghatározása elkerülhető, amint azt az alábbi megoldásban látni fogjuk. Jelöljük a kis fémgömb pillanatnyi töltését $q_1$-gyel, a nagyobb gömbét $q_2$-vel, a ponttöltés pillanatnyi távolságát a gömbök középpontjától pedig $r$-rel! A kisebb fémgömb potenciálja a földelés miatt nulla, és mivel a fém ekvipotenciális, ugyanez a középpontjára is igaz. A gömbökön elhelyezkedő töltések azonos ($R$, illetve $3R$) távolságra helyezkednek el a gömbök közös középpontjától, ezért itt a potenciált könnyen felírhatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle k\frac{q_1}{R}+k\frac{Q}{r}+k\frac{q_2}{3R}=0.}\end{array}$ (1) A nagy gömbön kívül a földelés miatt nincs elektromos tér (a belső töltések terét a nagy gömb teljesen leárnyékolja), így a Gauss-törvény értelmében a rendszer össztöltése nulla: $\begin{array}{c}{\displaystyle Q+q_1+q_2=0.}\end{array}$ (2) A fenti két egyenletből a kisebb gömb töltésének abszolút értéke kifejezhető $r$ függvényében: $\begin{array}{c}{\displaystyle q_1\left(r\right)=-\left(\frac{3R}{2r}-\frac{1}{2}\right)Q\mathrm{.}}\end{array}$ (3) Mivel a gömbök össztöltése állandó ($-Q$), így a ponttöltés mozgása közben csak a gömbök közötti vezetékben folyik áram, a földbe jutó vezetékben nem. A kis gömbre vonatkozó kontinuitási egyenletből a gömbök között folyó áram deriválással (vagy a kis megváltozásokra érvényes formulák segítségével) meghatározható: $\begin{array}{c}{\displaystyle I=\frac{\text{d}{q}_1}{\text{d}t}=\frac{\text{d}r}{\text{d}t}\frac{\text{d}{q}_1}{\text{d}r}=v\frac{\text{d}{q}_1}{\text{d}r}=\frac{3}{2}\frac{QvR}{r^2}\mathrm{,}}\end{array}$ az áram iránya pedig a kis gömb felé mutat. Tehát az áramerősség értéke, amikor a ponttöltés éppen $r=2R$ távolságra van a gömbök középpontjától: $\begin{array}{c}{\displaystyle I=\frac{3}{8}\frac{Qv}{R}\mathrm{.}}\end{array}$   II. megoldás. Az első megoldás kulcsa az volt, hogy észrevettük: a potenciál értéke könnyen kiszámítható a gömbök közös középpontjában. Az ($1$) és ($2$) egyenletekhez más módon, a szuperpozíciós elv segítségével is eljuthatunk. Képzeljük el, hogy a gömbök középpontjától $r$ távolságra elhelyezkedő $Q$ ponttöltést gondolatban $N$-edrészére csökkentjük. Ekkor a gömbök $q_1$ és $q_2$ töltése is $N$-edrészére csökken. Forgassuk el ezt az elrendezést a gömbök középpontja körül egy kicsit, és szuperponáljuk rá az eredeti elrendezésre! Így már két $Q/N$ ponttöltés helyezkedik el a középponttól $r$ távolságra, a gömbök töltése pedig rendre $2q_1/N$ és $2q_2/N$. Ismételjük meg ezt az eljárást még $\left(N-2\right)$-ször úgy, hogy végül összesen $Q$ töltés legyen az $r$ sugarú gömbfelületen, a lehető legegyenletesebb elrendeződésben. Az $N\to \infty$ határesetben a ponttöltést ilyen módon végül ,,szétkenhetjük'' egy $r$ sugarú, egyenletes felületi töltéssűrűségű, $Q$ össztöltésű gömbhéjjá, miközben a fémgömbök $q_1$ és $q_2$ töltése változatlan marad. Ennek az az előnye, hogy az eredeti feladatot visszavezettük egy könnyebb, gömbszimmetrikus problémára. Ismert, hogy egy egyenletesen töltött gömbhéj potenciálja kívül úgy számítható, mintha a gömb töltése a középpontjában összpontosulna, belül pedig ugyanakkora, mint a gömb felületén. A legkülső, földelt gömb felületén tehát a potenciált a három ($q_1$, $Q$ és $q_2$ töltésű) gömbhéj potenciáljának összegeként kaphatjuk meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle k\frac{q_1}{3R}+k\frac{Q}{3R}+k\frac{q_2}{3R}=\mathrm{0,}}\end{array}$ ami ekvivalens a ($2$) egyenlettel. A kis gömb felületén a (szintén nulla) potenciált teljesen hasonlóan, három tag összegeként írhatjuk fel: a legkülső gömb járuléka $k{q}_2/\left(3R\right)$, a ,,szétkent'' ponttöltésé $kQ/r$, míg a legbelső gömbé $k{q}_1/R$. Ez végül az ($1$) egyenletre vezet. Az ($1$) és ($2$) egyenletek birtokában a végeredményhez az I. megoldással azonos módon juthatunk el.   Megjegyzés. Az egyik második díjat nyert versenyző, Marozsák Tóbiás egy harmadik úton oldotta meg a feladatot. Ismert, hogy ha egy földelt, vezető gömbhéj közelébe egy ponttöltést helyezünk, akkor a gömbön megosztott töltések helyettesíthetők egy, a gömbfelület ponttöltéssel átellenes oldalán elhelyezett tükörtöltéssel. Ennek a tükörtöltésnek a nagysága és helyzete kiszámolható abból a feltételből, hogy a gömb teljes felülete nulla potenciálú. A feladatban szereplő két, koncentrikus gömbhéj esetén a $Q$ töltést először ,,tükröznünk'' kell mindkét gömbre, majd az így kapott tükörtöltésekkel is folytatni kell az eljárást. Végül váltakozó előjelű tükörtöltések végtelen sorát kapjuk a kis gömbön belül és a nagy gömbön kívül. A kis gömbön belüli tükörtöltések össztöltése (azaz $q_1$) egy geometriai sor felösszegzésével kiszámítható, és így közvetlenül a ($3$) egyenlethez jutunk. Bár ez a módszer matematikailag sokkal nehezebb, mint a fenti két, részletesen ismertetett megoldás, elvben lehetőséget ad a gömbök között kialakuló elektromos tér (legalább numerikus) meghatározására is.