A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A feladat nehézsége abban rejlik, hogy a fémgömbök eredetileg fennálló gömbszimmetriáját elrontja a ponttöltés jelenléte. Emiatt a gömbökön kialakuló töltéseloszlás erősen inhomogén lesz, és az elektromos mező szerkezete is meglehetősen bonyolult. Szerencsére a töltéseloszlás meghatározása elkerülhető, amint azt az alábbi megoldásban látni fogjuk. Jelöljük a kis fémgömb pillanatnyi töltését -gyel, a nagyobb gömbét -vel, a ponttöltés pillanatnyi távolságát a gömbök középpontjától pedig -rel! A kisebb fémgömb potenciálja a földelés miatt nulla, és mivel a fém ekvipotenciális, ugyanez a középpontjára is igaz. A gömbökön elhelyezkedő töltések azonos (, illetve ) távolságra helyezkednek el a gömbök közös középpontjától, ezért itt a potenciált könnyen felírhatjuk: A nagy gömbön kívül a földelés miatt nincs elektromos tér (a belső töltések terét a nagy gömb teljesen leárnyékolja), így a Gauss-törvény értelmében a rendszer össztöltése nulla: A fenti két egyenletből a kisebb gömb töltésének abszolút értéke kifejezhető függvényében: Mivel a gömbök össztöltése állandó (), így a ponttöltés mozgása közben csak a gömbök közötti vezetékben folyik áram, a földbe jutó vezetékben nem. A kis gömbre vonatkozó kontinuitási egyenletből a gömbök között folyó áram deriválással (vagy a kis megváltozásokra érvényes formulák segítségével) meghatározható: | | az áram iránya pedig a kis gömb felé mutat. Tehát az áramerősség értéke, amikor a ponttöltés éppen távolságra van a gömbök középpontjától:
II. megoldás. Az első megoldás kulcsa az volt, hogy észrevettük: a potenciál értéke könnyen kiszámítható a gömbök közös középpontjában. Az () és () egyenletekhez más módon, a szuperpozíciós elv segítségével is eljuthatunk. Képzeljük el, hogy a gömbök középpontjától távolságra elhelyezkedő ponttöltést gondolatban -edrészére csökkentjük. Ekkor a gömbök és töltése is -edrészére csökken. Forgassuk el ezt az elrendezést a gömbök középpontja körül egy kicsit, és szuperponáljuk rá az eredeti elrendezésre! Így már két ponttöltés helyezkedik el a középponttól távolságra, a gömbök töltése pedig rendre és . Ismételjük meg ezt az eljárást még -ször úgy, hogy végül összesen töltés legyen az sugarú gömbfelületen, a lehető legegyenletesebb elrendeződésben. Az határesetben a ponttöltést ilyen módon végül ,,szétkenhetjük'' egy sugarú, egyenletes felületi töltéssűrűségű, össztöltésű gömbhéjjá, miközben a fémgömbök és töltése változatlan marad. Ennek az az előnye, hogy az eredeti feladatot visszavezettük egy könnyebb, gömbszimmetrikus problémára. Ismert, hogy egy egyenletesen töltött gömbhéj potenciálja kívül úgy számítható, mintha a gömb töltése a középpontjában összpontosulna, belül pedig ugyanakkora, mint a gömb felületén. A legkülső, földelt gömb felületén tehát a potenciált a három (, és töltésű) gömbhéj potenciáljának összegeként kaphatjuk meg: ami ekvivalens a () egyenlettel. A kis gömb felületén a (szintén nulla) potenciált teljesen hasonlóan, három tag összegeként írhatjuk fel: a legkülső gömb járuléka , a ,,szétkent'' ponttöltésé , míg a legbelső gömbé . Ez végül az () egyenletre vezet. Az () és () egyenletek birtokában a végeredményhez az I. megoldással azonos módon juthatunk el.
Megjegyzés. Az egyik második díjat nyert versenyző, Marozsák Tóbiás egy harmadik úton oldotta meg a feladatot. Ismert, hogy ha egy földelt, vezető gömbhéj közelébe egy ponttöltést helyezünk, akkor a gömbön megosztott töltések helyettesíthetők egy, a gömbfelület ponttöltéssel átellenes oldalán elhelyezett tükörtöltéssel. Ennek a tükörtöltésnek a nagysága és helyzete kiszámolható abból a feltételből, hogy a gömb teljes felülete nulla potenciálú. A feladatban szereplő két, koncentrikus gömbhéj esetén a töltést először ,,tükröznünk'' kell mindkét gömbre, majd az így kapott tükörtöltésekkel is folytatni kell az eljárást. Végül váltakozó előjelű tükörtöltések végtelen sorát kapjuk a kis gömbön belül és a nagy gömbön kívül. A kis gömbön belüli tükörtöltések össztöltése (azaz ) egy geometriai sor felösszegzésével kiszámítható, és így közvetlenül a () egyenlethez jutunk. Bár ez a módszer matematikailag sokkal nehezebb, mint a fenti két, részletesen ismertetett megoldás, elvben lehetőséget ad a gömbök között kialakuló elektromos tér (legalább numerikus) meghatározására is.
|
|